整閉イデアルを用いた正標数の特異点の研究

利用封闭理想研究正特性奇点

基本信息

批准号：
19K03430
负责人：
吉田健一
金额：
$ 2.16万
依托单位：
Nihon University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

研究代表者は，幾何種数イデアルを共に創設した共同研究者である渡辺敬一氏（日本大学文理学部，明治大学研究・知財戦略機構），奥間智弘氏（山形大学理学部）とイタリアの Rossi 教授の協力の下で，前年度までの研究において，楕円型イデアルを定義し，その特徴づけに成功した。我々が研究している２次元正規特異点においては，幾何種数イデアルや楕円型イデアルは「幾何的イデアル」であり，その性質はしばしば対応する特異点解消とアンチネフサイクルの言葉で特徴付けることができる。本研究は，これらの幾何的イデアルを分類するという観点から，「正規正接錐の Gorenstein 性」の研究にシフトしつつある。この研究においては，ベースになる環は Gorenstein と仮定するが，幾何種数イデアルの場合には「正規正接錐の Gorenstein 性」は good イデアルという別の幾何的イデアルと深く関連しているように思われる。実際，good な幾何種数イデアルは，正規正接錐が Gorenstein になる正規還元種数１のイデアルとして特徴付けられる。本年度の研究成果として，楕円型イデアルの場合に, 正規正接錐が Gorenstein になるための必要十分条件として，対応するサイクルのオイラー標数が零であるという条件を与えた。結果として, 幾何種数，または, 正規還元種数が２以下の Gorenstein 環の極大イデアルに関する正規正接錐がつねに Gorenstein になることを証明することができる。さらに, ある種の楕円特異点の場合には, 幾何的な考察により, 正規正接錐が Gorenstein になる楕円イデアルは高々有限個であることなども示すことができた。これは, 可換環論的対象であるイデアルを幾何的に特徴づけることにより証明が可能になった成果の１つと考えている。

主要研究人员为 Geometric Genus Ideal 共同创始人渡边敬一（日本大学文理学院、明治大学研究与知识产权战略研究所）、大隈友博（山形大学理学院）和意大利的罗西在教授的合作下，我们在去年的研究中成功地定义了椭圆理想并表征了它。在我们研究的二维正态奇点中，几何亏格理想和椭圆理想都是“几何理想”，它们的性质往往可以用相应的奇点分辨率和反涅夫周期来表征。从对这些几何理想进行分类的角度来看，本研究正在转向“法向正切锥体的Gorenstein性质”的研究。在这项研究中，我们假设基环是Gorenstein，但在几何亏格理想的情况下，“法向切锥的Gorenstein性质”似乎与另一种称为好理想的几何理想密切相关。将会完成。事实上，一个好的几何亏格理想可以被表征为正常的简化亏格 1 理想，其法线切锥是 Gorenstein。作为今年研究的结果，在椭圆理想的情况下，我们给出了相应循环的欧拉特征为零的条件，作为法向切锥成为Gorenstein的充要条件。由此，我们可以证明，几何亏格或正态约化亏格小于或等于 2 的 Gorenstein 环的最大理想的法线切锥始终是 Gorenstein。此外，在某些椭圆奇点的情况下，我们能够通过几何考虑表明，最多存在有限数量的椭圆理想，其法向切锥是 Gorenstein。我相信这是可以通过几何表征理想（交换代数对象）来证明的结果之一。