有限群と頂点作用素代数の様々な予想の解決に向けて

致力于解决有限群和顶点算子代数的各种猜想

基本信息

批准号：
19K03403
负责人：
安部利之
金额：
$ 2.33万
依托单位：
Ehime University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は主に原田予想IIの解決について, 新しい観点からの研究に取り組んだ.原田予想IIは,有限群の共役類の基数の積と既約次数の積の比が整数になるという予想である.有限群 G に対し,その比 h(G) を原田数と呼ぶが, h(G)の平方が群の群環の中心の自然なエルミート形式の共役和から得られる基底に関するグラム行列式の絶対値を群の中心化部分群の位数の積で割った比になることは, 既に本研究課題の成果として得られている.本年度の大きな成果の一つは,この原田数 h(G)を,群の中心的部分群とその既約指標を用いて一般化したことである. 更に,一つ中心的部分群を固定すると, その既約指標に対し定まる一般化された原田数をすべての既約指標にわたって掛け合わせることで,原田数が復元できることも証明した.この原田数の因子分解を用いて,既約指標を経由しない形で多くのべき零群の原田数を再計算できた。一方で、原田数は中心的部分群を固定したときの一般化した原田数の積であることから、この一般化した原田数が整数であれば、原田予想IIが解決されることが分かる。具体例でこのことを検証すると、二面体群の場合において、非整数が現れることが分かったため、単純に原田予想の解決につながらないことも確認できた。頂点作用素代数についての予想として, ムーンシャイン頂点作用素代数の一意性問題及びオービフォールド模型のC2余有限性について継続して考察した. 残念ながら大きな進展は得られなかったが, twisted 加群の構成について現在少し考察を深め, 自己同型の存在とtwisted 加群の構成との関係を明らかにすることで大きな進展が得られると期待している。

今年我们主要从新的角度研究解决原田猜想II。原田猜想II是有限群的共轭类基数的乘积与不可约度的乘积之比的猜想是一个整数。对于有限群 G，比率 h(G) 称为原田数， h(G) 的平方是革兰氏行列式的绝对值相对于由群环中心的自然埃尔米特形式的共轭和得到的基除以该群的中心子群的阶数已经作为该研究项目的结果获得。今年的主要成果之一是使用该群的中心子群及其它的Harada数h(G)的推广。不可约指数确实如此。此外，我们还证明，当一个中心子群固定时，可以通过将该不可约指数确定的广义原田数乘以所有不可约指数来恢复原田数，使用因式分解，我们能够重新计算许多零次方的原田数。组，无需经过不可约指标。另一方面，由于当中心子群固定时，原田数是广义原田数的乘积，因此可以看出，如果广义原田数是整数，则原田猜想II得到解决。当我们用具体例子验证这一点时，我们发现在二面体群的情况下出现非整数，因此我们能够确认这并不简单地导致原田猜想的解决。作为关于顶点算子代数的猜想，我们继续考虑了moonshine顶点算子代数的唯一性问题和orbifold模型的C2余有限性。不幸的是，我们没有取得太大进展，但我们确实考虑了扭曲模的构造。我们目前正在思考更深入一点，希望能够通过阐明自同构的存在与扭曲模块的组成之间的关系来取得长足的进展。