拡散過程の到達時間分布と数理ファイナンスへの応用

扩散过程的到达时间分布及其在数学金融中的应用

基本信息

批准号：
20K03731
负责人：
今村悠里
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Kanazawa University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究では確率過程の到達時間分布を考える．金融市場における債権などの価格や，派生するリスク，保険は拡散過程やレヴィー過程によってモデル化される．確率過程がある範囲に到達する時間の分布を得ること，およびその性質を明らかにすることを目標としている．到達時間は境界における過程の分布に関する対称性を用いることにより，分布関数が経路依存のない形，つまり確率過程が最後の時間にいる場所の情報のみで与えられる期待値と表される．確率過程と到達する領域によって与えられるCarr-Nadtochiy 変換を調べることにより，到達時間の分布関数に対して対称性が成り立つことがわかっている．この対称性を用いることにより，金融派生商品価格の数値計算手法をはじめ様々な分野への応用を発見することを考える．今年度の業績は，分布の対称性とskorokhod embedding 問題との関係について明らかにしたことである．skorokhod embedding 問題とは，任意の法則に対して，時間変更されたブラウン運動その分布を持つための停止時間を考えることである．分布に対して得られる停止時間はある到達時間であることが知られているが，この研究では停止時刻最初に到達する領域の形状から法則を特徴付けられることを示した．本結果においては限られた場合についてのみ扱っているが，ブラウン運動の到達時間から得られる分布を特徴つけることができたこと，またブラウン運動の対称性と到達時間分布との関係性を到達領域から明らかにすることへとつながることが期待できる．

在本研究中，我们考虑随机过程的到达时间分布。金融市场中的债券、衍生风险和保险的价格通过扩散过程和征费过程进行建模。目标是获得随机过程达到一定范围的时间分布并阐明其性质。利用过程在边界处分布的对称性，到达时间可以表示为无路径依赖的分布函数，即仅由随机过程最后一次所处位置信息给出的期望值。通过检查由随机过程和到达区域给出的 Carr-Nadtochiy 变换，我们知道到达时间的分布函数具有对称性。通过利用这种对称性，我们希望发现在各个领域的应用，包括金融衍生品价格的数值计算方法。今年的成就是阐明了分布对称性和 skorokhod 嵌入问题之间的关系。 skorokhod 嵌入问题是考虑任意定律的停止时间，使其具有时间修正布朗运动的分布。众所周知，分布获得的停止时间是一定的到达时间，但在本研究中，我们表明可以通过停止时间首先到达的区域的形状来表征该规律。虽然这个结果只处理了有限的情况，但我们能够表征布朗运动到达时间的分布，并且还证明了布朗运动的对称性与到达区域的到达时间分布之间的关系。希望这将导致进一步澄清。