閉曲面上のグラフの生成定理と局所変形理論の融合的研究

闭曲面图生成定理与局部变形理论的融合研究

基本信息

批准号：
20K03714
负责人：
鈴木有祐
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Niigata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

閉曲面上の偶三角形分割とは各頂点の次数が偶数であるような三角形分割のことである．偶三角形分割に対してその性質を保存するような局所変形がいくらか定義され，それらによって移りあうグラフを分類するという研究が存在する．特に，P-splittingとP-contractionと呼ばれる変形を用いると「有限個の例外グラフを除き，閉曲面F2上の任意の2つの3-染色的三角形分割はそれらの変形で互いに移りあう」という事実が示されている．（3-染色的三角形分割は偶三角形分割である．）上記の有限個の例外を，例外的3-染色的三角形分割と呼ぶが，種数の小さい閉曲面に対してそれらのグラフが実際にどのくらい存在するのかを考え，オイラー標数-8の閉曲面に対して，K_{5,5,5}から6-閉路に対応する辺を除いたものが唯一の例外的3-染色的三角形分割であることを示すことに成功した．（これより種数の小さい閉曲面に対しては，例外的3-染色的三角形分割が完全に決定されているが，そこで得られたグラフは全て完全3部グラフになっている．）完全3部グラフが閉曲面に三角形分割として埋め込み可能であれば，定義より必ず例外的になっている．向き付け可能な閉曲面に対してはWhiteの結果，向き付け不可能な閉曲面に対してはEllingham等の結果より，完全3部グラフの種数が示されており，三角形分割可能なものもその結果から直ちに得ることが可能である．つまり，任意の自然数Nに対して，種数N以上の閉曲面F2で例外的3-染色的三角形分割を認めるものが存在することになる．この事実自体は簡単なものであるが，「（オイラー標数-8の閉曲面上の議論で得られたグラフのように）完全3部グラフではない例外的3-染色的三角形分割が種数に対してどのくらいの頻度で登場するのか？」という問題や，それらのグラフの構造を明らかにすべく研究を継続する．

即使封闭曲面上的三角剖分也是每个顶点的度数为偶数的三角剖分。已经定义了一些保留均匀三角剖分属性的局部变形，并且有关于使用这些局部变形对移位图进行分类的研究。特别是，当我们使用称为 P 分裂和 P 收缩的变换时，我们发现“排除有限数量的特殊图，封闭曲面 F2 上的任何两个 3 色三角剖分都会通过这些变换相互传递。”显示。（3色三角剖分是偶数三角剖分。）上述有限数量的例外称为例外3色三角剖分，但它们的图实际上是考虑到存在多少个，对于具有欧拉特性-8的闭曲面，唯一的例外3 -色三角剖分是从 K_{5,5,5} 中排除对应于 6 周期的边缘的三角剖分，我们成功地证明了这一点。（对于比这更小的闭曲面，例外的三色三角剖分是完全确定的，但得到的图都是完全三分图。）完成 3 如果一个子图可以作为三角剖分嵌入到闭曲面中，则根据定义，它必然是例外的。 White 对可定向封闭曲面的结果和 Ellingham 等人对不可定向封闭曲面的结果表明了完全三方图的属，并且三角测量也可以立即获得结果。换句话说，对于任何自然数 N，都存在一个亏格 N 或更大的闭曲面 F2，它允许特殊的三色三角剖分。这个事实本身很简单，但是“一个特殊的三色三角剖分不是一个完整的三方图（就像在具有欧拉特性 8 的封闭曲面的讨论中获得的图）”是一个属，我们将继续我们的研究来澄清。 “它们出现的频率？”以及它们的图表结构的问题。