コロンボの理論を用いた不連続な係数を持つ波動方程式に対する初期値問題の研究

基于科伦坡理论的不连续系数波动方程初值问题研究

基本信息

批准号：
20K03694
负责人：
出口英生
金额：
$ 2.75万
依托单位：
University of Toyama
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

超関数の理論は、線形位相空間の理論に基づいた本質的に線形な概念である。この理論は偏微分方程式の研究に多大な貢献をもたらしたが、滑らかな係数を持つ線形偏微分方程式の研究に対してさえ、十分でない。さらに、最近の偏微分方程式の研究は、特異性のある係数や初期値を持つ線形偏微分方程式だけでなく非線形偏微分方程式へと重点が移行してきている。このような方程式の研究に超関数を用いるためには、超関数の積をはじめとした非線形な作用に関する理論が必要となる。そのような方向の一つとして、コロンボによって導入された一般関数の理論が注目されている。コロンボの一般関数の空間は、超関数の空間を含む微分多元環であり、部分多元環として滑らかな関数の空間を含む。さらに、この空間は、積だけでなく一般の非線形作用に関しても閉じているので、特異性のある係数や初期値を持つ線形又は非線形偏微分方程式の解を研究するのに、非常に重要で便利な空間である。本年度は、コロンボの一般関数の理論を用いて、粘性を伴う単独保存則方程式に対する初期値問題を扱った。まず、コロンボの一般関数の空間の適当な部分空間において初期値問題を考え、一般関数解の存在性と一意性を証明した。次に、一般関数解の正則性、特異性の伝播を研究した。初期値が有界かつ可積分関数の場合や、デルタ関数のような強い特異性を持つ関数の場合などを考察し、一般関数解の特異台がどのような集合になるかを詳しく調べた。

超函数理论本质上是基于线性相空间理论的线性概念。尽管该理论对偏微分方程的研究做出了巨大贡献，但即使对于具有光滑系数的线性偏微分方程的研究也是不够的。此外，最近对偏微分方程的研究，重点已从具有奇异系数和初始值的线性偏微分方程转向非线性偏微分方程。为了使用超函数来研究此类方程，我们需要非线性效应理论，包括超函数的乘积。作为这样的方向之一，科伦坡提出的一般函数理论引起了人们的关注。科伦坡一般函数空间是一个微分代数，它包括超函数空间，并包括作为子代数的光滑函数空间。此外，这个空间不仅对于乘积是封闭的，而且对于一般的非线性效应也是封闭的，这对于研究具有奇异系数或初始值的线性或非线性偏微分方程的解非常重要和有用。。今年，我们使用科伦坡的一般函数理论来处理涉及粘度的单一守恒定律方程的初值问题。首先，我们在Colombo广义函数空间的适当子空间中考虑初值问题，并证明了广义函数解的存在性和唯一性。接下来，我们研究了一般函数解的正则性和奇异性的传播。我们考虑了初始值是有界可积函数的情况，以及具有强奇异性的函数（例如delta函数）的情况，并详细研究了什么样的通用函数解的奇异支持集是形成的。