The study on nonlinear elliptic partial differential equations via variational and perturbation methods

非线性椭圆偏微分方程的变分法和摄动法研究

基本信息

批准号：
20K03691
负责人：
佐藤洋平
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

2021年度に引き続き、2022年度も全空間上で定義された3つの楕円型方程式から成る連立楕円型方程式の相互作用項に引力的な項と斥力的な項が混じっているときのエネルギー最小解の研究を行った。方程式が有界領域上で定義されている場合は、従来の研究によりエネルギー最小解の存在が知られていた。他方、方程式が全空間上で定義されている場合、相互作用項に斥力的な項があると、エネルギー最小解の存在は期待できないことも知られていた。2021年度のユタ州立大学（福州師範大学）のZhi-Qiang Wang教授との共同研究により、空間次元が2次元または3次元のときは、関数空間を偶関数に制限するとエネルギー最小偶関数解が存在することを発見した。2022年度はこの研究を論文として纏めた。その過程において同様の問題を考察していた西北工業大学Jiankang Xiaも研究に加わり共同で論文を執筆した。この論文は現在投稿中である。さらに2021年度の研究において、この手法が全空間上で定義された2つの楕円型方程式から成る連立方程式の相互作用項が斥力的な場合にも適用できることもわかった。すなわち、方程式が全空間上で定義されていて相互作用項が斥力的な場合、エネルギー最小解の存在は期待できないが、空間次元が2次元または3次元のときは、関数空間を偶関数に制限するとエネルギー最小偶関数解が存在し得ることを証明した。ただし、2021年の実績概要で記載したエネルギー偶関数解の非球対称性については、その証明に誤りがあった。現在のところ、エネルギー最小偶関数解の非球対称性は分かっていない。2022年度の研究では、空間次元が1次元の場合も、相互作用項の係数関数に条件を加えるとエネルギー最小偶関数解が存在し得ることも証明し、これらの結果を論文に纏めた。この論文は学術誌「Nonlinear Analysis」への掲載が決まっている。

从 2021 年开始，我们还将在 2022 年研究在由在整个空间上定义的三个椭圆方程组成的联立椭圆方程的相互作用项中混合吸引项和排斥项时的最小能量解。先前的研究已经知道，当在有界区域上定义方程时，存在最小能量解。另一方面，众所周知，当在整个空间上定义方程并且存在排斥相互作用项时，不能期望存在最小能量解。 2021年与犹他州立大学（福州师范大学）王志强教授联合研究发现，当空间维度为2维或3维时，当函数空间受限于偶函数时，存在能量最小偶函数解我发现了。 2022年，我们将这项研究整理成一篇论文。在此过程中，一直在考虑类似问题的西北理工学院夏健康也加入了研究并共同撰写了该论文。目前该论文正在提交中。此外，在2021年的研究中发现，当由在整个空间上定义的两个椭圆方程组成的联立方程的相互作用项具有排斥性时，也可以应用该方法。换句话说，如果方程在整个空间上定义，且相互作用项具有排斥性，则不能期望存在最小能量解，但当空间维度为二维或三维时，函数空间仅限于偶函数然后，我们证明了最小能量偶函数解的存在。然而，2021年绩效总结中描述的能量偶函数解的非球对称性证明存在错误。目前，能量最小偶函数解的非球对称性未知。在2022年的研究中，我们还证明了即使空间维度为一维，通过在相互作用项的系数函数中添加一个条件，也可以存在最小能量偶函数解，并将这些结果总结在一篇论文中。该论文已计划发表在学术期刊《非线性分析》上。