Mathematical analysis for surface waves arising from body waves and its applications

体波产生的表面波数学分析及其应用

基本信息

批准号：
20K03684
负责人：
川下和日子
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

逆問題における囲い込み法は、調査対象の内部の空洞や介在物までの距離や形状などを偏微分方程式から引き出す手法の一つで、指示関数を導入し、そのパラメーターを大きくした場合の漸近挙動から情報を得る方法である。この方法により行われてきた多くの研究において、調査対象の障害物に対し、穴の境界条件や異物の密度などに同質性の仮定がおかれ、指示間数の符号が一定になる場合のみが考察されてきた。そこで今回はこの仮定を除いて、Dirichlet境界条件、Neumann境界条件などの複数種の穴が混在する場合に、波動方程式を用いてそれらの穴についての情報を引き出すことを目的として研究を行った。成果の一つ目として、時間微分についてラプラス変換を行った波動方程式に対する楕円型評価による方法で、複数種の穴が混在している場合についても観測点から障害物までの最短距離と穴の種類に関する情報を引き出せることがわかった。これは過去の研究で主に用いられてきた方法であるが、今まで以上に精密な評価を行うことにより可能となることがわかった。ただし、例えば観測地から穴までの最短距離が、Dirichlet境界条件の穴とNeumann境界条件の穴の両方で同じになる場合は扱えない。そこで次の研究として、散乱理論においてよく用いられる漸近解(近似解)を構成し、その表示を指示関数の解析に取り入れた。これによって得られた指示関数の漸近展開の初項に着目すると、Dirichlet境界条件の穴とNeumann境界条件の穴が観測地から同じ距離にある場合、それぞれの表面の幾何的形状に関する値の差が漸近展開の初項に現れ、曲率が小さく曲率半径の大きい穴の方が最短の穴として観測されるという結果になった。このときに昨年度まで大きな問題として残っていた、穴の境界の滑らかさについての課題も一定の解決を見ることができた。

反问题的包围法是从偏微分方程中提取考察对象内部的空洞和夹杂物的距离和形状的方法，是一种获取信息的方法。在使用这种方法进行的许多研究中，假设要研究的障碍物的孔边界条件和异物密度是均匀的，并且仅当指示之间的数字的符号恒定时才被考虑。因此，这次我们去掉了这个假设，进行了研究，目的是当狄利克雷边界条件和诺依曼边界条件等多种类型的孔共存时，利用波动方程提取有关孔的信息。结果之一是观察点到障碍物的最短距离和孔的类型，即使当多种类型的孔共存时，使用拉普拉斯变换对波动方程进行时间微分的椭圆评估方法也证明了这一点。可以提取有关的信息这是过去研究中主要使用的方法，但现在发现，通过进行比以往更精确的评估，这是可能的。然而，例如，如果对于具有狄利克雷边界条件的孔和具有诺伊曼边界条件的孔，从观察位置到孔的最短距离相同，则不能处理。因此，在接下来的研究中，我们构造了散射理论中常用的渐近解（近似解），并将其表示形式纳入指示函数的分析中。关注由此得到的指示函数渐近展开的第一项，如果狄利克雷边界条件下的孔和诺依曼边界条件下的孔距观测地点的距离相同，则值的差异与每个曲面的几何形状相关的是它出现在渐近展开的第一项中，结果是曲率小而曲率半径大的孔被观察为最短孔。此时，我们能够看到孔边界平滑度问题得到了一些解决，这个问题直到去年仍然是一个主要问题。