対称空間上のシュレディンガー作用素に対する幾何学的散乱理論

对称空间上薛定谔算子的几何散射理论

基本信息

批准号：
20K03664
负责人：
貝塚公一
金额：
$ 1.83万
依托单位：
Nippon Medical School
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

昨年度の研究で得た、非コンパクト型対称空間上のディラック作用素の連続スペクトルの決定と、いくつかの特別な型の非コンパクト型対称空間上におけるディラック作用素の一様レゾルベント評価について、「日本数学会年会（2023年3月、函数解析学分科会）」において研究成果の報告を行った。また、非コンパクト型対称空間上のシュレディンガー作用素に対する一般化固有関数の無限遠での漸近解析について研究した。先行研究の論文Kaizuka (J.Funct.Anal.(2019))では、レゾルベントの漸近展開から一般化固有関数の漸近展開を導き、幾何学的散乱行列を考察した。先行研究では、非コンパクト型対称空間を動径方向にコンパクト化して、正則な点からなる球面の一部を無限遠と考えて幾何学的散乱行列と漸近展開を考察した。定量的なノルム評価に応用するには十分な解析ではあったが、非コンパクト型対称空間が持つ幾何学的な特異性を全て反映したものではなかった。そこで、非コンパクト型対称空間のMartinコンパクト化から得られる無限遠境界に関して、シュレディンガー作用素の一般化固有関数の漸近挙動を解析した。議論の途中で漸近解析の議論に一部形式的な部分があるが、結果としてMartin境界上で定義された（ある種の）幾何学的散乱行列を明示的に構築することができた。新たに得られた幾何学的散乱行列は、先行研究で得られていた散乱行列を正則な点からなる球面上からMartin境界上に連続拡張した作用素となることも分かった。新たに得られた散乱行列の幾何学的な性質については研究継続中である。

关于我们在去年的研究中得到的非紧对称空间上狄拉克算子的连续谱的确定以及某些特殊类型的非紧对称空间上狄拉克算子的一致解析评价，我们将讨论“数学日本学会”我们在年会上（2023年3月，功能分析小组委员会）报告了我们的研究成果。我们还研究了非紧对称空间上薛定谔算子的广义本征函数的无穷远渐近分析。在之前的研究论文 Kaizuka (J.Funct.Anal.(2019)) 中，我们从求解器的渐近展开推导出广义本征函数的渐近展开，并考虑了几何散射矩阵。在之前的研究中，我们在径向上压缩了一个非紧对称空间，并考虑了由正则点组成的球体的一部分位于无穷远，并考虑了几何散射矩阵和渐近展开。尽管该分析足以应用于定量范数评估，但它并没有反映非紧对称空间的所有几何特性。因此，我们分析了薛定谔算子的广义本征函数对于由非紧对称空间的马丁紧化获得的无限边界的渐近行为。在讨论过程中，渐近分析的讨论有些形式化，但结果我们能够明确地构造在马丁边界上定义的（一种）几何散射矩阵。还发现，新得到的几何散射矩阵是一个算子，是之前研究中得到的散射矩阵从规则点组成的球体到马丁边界的连续延伸。对新获得的散射矩阵的几何性质的研究正在进行中。