グラフ構造の幾何学的表現の解析による数論的変換のエルゴード理論

通过分析图结构的几何表示的算术变换的遍历理论

基本信息

批准号：
20K03661
负责人：
仲田均
金额：
$ 2.08万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03661/
关键词：
エルゴード理論連分数変換 Farey グラフ虚2次体虚二次体

项目摘要

2022年度は、事前の計画に従い虚二次体の整数により生成される Farey グラフに関する研究を行った。特に、類数が２以上の虚2次体の場合に互いに素となる同型なグラフが類数の個数だけ存在することを明らかにした。これらを虚二次体の Farey グラフと考えることは極めて自然であり、今後これらのグラフの構造を研究する予定である。虚二次体における Farey グラフの構造について研究を進めると共に、ユークリッド虚二次体の場合にその中のサブグラフを与える nearest integer 型複素連分数のエルゴード理論の研究を前年度に引き続いて行った。またアイゼンシュタイン数体の場合のKaneiwa-Shiokawa-Tamura 型連分数のエルゴード理論の研究を行った。とりわけ、複素2次元の空間の中にこの連分数を生成する変換の自然拡大の構成にほぼ成功した。またこの場合、アイゼンシュタイン数体の2次拡大の要素とその共役元の組が自然拡大の領域に属することが、連分数展開が純周期的になることを特徴づけることを証明した。これら虚2次体の研究と並行して実数の場合に Farey グラフを与える Farey 写像のα型とよばれる一般化を試みた。従来の研究では 1/2≦α≦1 の範囲で自然拡大を通してこれらがすべて互いに同型になることが知られていた。今回の研究では √2 -1 ≦α＜ 1/2 の範囲で自然拡大の構成に成功し、ここでもすべての自然拡大がこれまでのものと同型になることを証明することに成功した。この研究はデルフト工科大学のCor Kraaikamp 准教授との共同研究である。次年度にはα型Farey写像の研究の先駆者である日本女子大夏井利恵准教授を加え、0 ＜α＜√2 - 1 の場合に対してさらなる研究を行う予定である。

2022年，我们按照初步计划对虚二次域中的整数生成的Farey图进行了研究。特别是，我们揭示了对于类数为 2 或更多的虚二次域，互质同构图的数量与类数一样多。将这些视为虚二次域的 Farey 图是很自然的，我们计划在未来研究这些图的结构。除了研究虚二次域中法雷图的结构之外，我们还继续前一年的研究最近整数型复连分数的遍历理论，该理论给出了欧几里德虚二次域内的子图。我们还研究了爱森斯坦数域情况下的 Kaneiwa-Shiokawa-Tamura 型连分数的遍历理论。特别是，我几乎成功地构造了变换的自然扩展，在复杂的二维空间中生成了这个连续分数。在这种情况下，我们还证明了爱森斯坦数域的二次扩张及其共轭的元素的组合属于自然扩张区域，这将连分数展开式表征为纯周期性的。在对虚二次域进行这些研究的同时，我尝试推广 Farey 图（称为 α 型），以给出实数情况下的 Farey 图。在之前的研究中，已知所有这些都通过在1/2≤α≤1范围内的自然扩展而彼此同构。在这项研究中，我们成功地构造了 √2 -1 ≤ α < 1/2 范围内的自然展开式，并且在这里我们也成功地证明了所有自然展开式与之前的自然展开式是同构的。这项研究是与代尔夫特理工大学 Cor Kraaikamp 副教授合作进行的。明年，我们计划聘请α型Farey图研究先驱、日本女子大学夏井理惠副教授，对0 < α < √2 - 1的情况进行进一步研究。