確率解析によるランダムシュレディンガー作用素の研究

利用随机分析研究随机薛定谔算子

基本信息

批准号：
20K03629
负责人：
上木直昌
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本研究はランダムなシュレディンガー作用素に関する問題に多角的に取り組むことを目的としている。ポテンシャルがホワイトノイズになっている場合のランダムシュレディンガー作用素の研究について、2次元平面全体で自己共役作用素として定義する方針がたったので、まとめつつある。この作用素についてはパラコントロールカリキュラスが盛んになって早い段階で、コンパクトな空間上、自己共役作用素として定義されてきたが、特に最近になってノンコンパクトな空間を考えやすい熱半群を用いたパラコントロールカリキュラスによっても同様のことが示されるようになった。その方法を更に1の分解を用いて拡張することにより、2次元平面全体で自己共役作用素として定義することに取り組んだ。更に出来た作用素のスペクトル集合を決める問題にも取り組んだ。スペクトル集合を決める問題に関して連続な Gauss 型確率場をポテンシャルとする場合についてはPasturとFigotinの本で証明の方針が書かれていた。それはGauss 型確率場に対する小球確率の正値性を用いるというものだったがその方針で証明するには修正するべき部分があることが分かった。そこで Gauss 型ランダム磁場をもつランダムシュレディンガー作用素とディラック作用素に対しても同様の結果を証明して論文にまとめ、学術雑誌に投稿した。相互作用がある点過程に対するシュレディンガー作用素の状態密度関数の挙動について、ポアソン点過程を変形させたギブス点過程に対して、大学院生の中川雄太氏が取り組み、ポテンシャルが負の場合に、状態密度関数の低エネルギーでの減衰の主要項は、一定のまとまった条件の下で元のポアソン過程のものと同じだが、別のまとまった条件の下では、オーダーも含めて元のポアソン過程のものと異なることを示した。特にあるまとまった条件の下で減衰の主要項を明確に表した。

本研究的目的是从多个角度解决与随机薛定谔算子相关的问题。关于势为白噪声时的随机薛定谔算子的研究，我们决定将其定义为整个二维平面上的自伴算子，目前正在制定方案。早期当副控制微积分流行时，该算子被定义为紧空间上的自伴算子，但最近它被定义为紧空间上的自伴算子。伞控制课程。通过使用 1 的分解进一步扩展该方法，我们致力于在整个二维平面上定义自伴算子。我们还研究了确定结果算子的谱集的问题。关于确定谱集的问题，Pastur和Figotin在书中写了用连续高斯随机场作为势的情况的证明策略。这个想法是使用高斯随机场的球体概率的正值，但事实证明，为了使用这种方法证明它，需要修改一些东西。因此，我用高斯随机磁场证明了随机薛定谔和狄拉克算子的类似结果，总结在一篇论文中，并将其提交给学术期刊。研究生 Yuta Nakakawa 研究了具有相互作用的点过程的薛定谔算子的状态函数密度的行为，并研究了吉布斯点过程的薛定谔算子的状态函数密度的行为泊松点过程的修正，在某些设定条件下，低能衰变的主项与原始泊松过程相同，但在其他设定条件下，它与原始泊松过程不同，包括阶数。结果表明特别是在一定条件下，衰减的主要项被明确表达。