Topology of the embedding spaces and the finite type invariants

嵌入空间的拓扑和有限类型不变量

基本信息

批准号：
20K03608
负责人：
境圭一
金额：
$ 2.16万
依托单位：
Shinshu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

前年度に引き続き，埋め込みのなす空間，特にn次元Euclid空間内のlong knotと呼ばれるタイプの埋め込みの空間K_nについて，その位相幾何学的性質を，Vassiliev不変量との関連を意識した立場から調べた．2021年度は，加納早貴氏との共同研究により，ある非3価グラフコサイクルに付随した配置空間上の積分によって得られるK_3の1次微分形式をFox-Hatcher (FH) サイクル上で積分することにより，3次のVassiliev不変量が得られることを示していた．2022年度はこの成果をさらに詳細に見直すことで，defect 1のグラフコサイクル（非3価グラフのうち退化の度合いが最も小さいもの）が任意に与えられたとき，そのFHサイクル上での積分がいつもVassiliev不変量を与えることを見出した．これはK_3に関する結果だが，コサイクルのサイクル上での積分の計算については一般のK_nの場合にも同様である．非3価グラフコサイクルがK_nの非自明なコホモロジー類を与えるかどうかは一般には知られておらず，いくつかの散発的な例が知られているに留まるが，defect 1のグラフに対しては非自明性の証明に見通しが立ちつつある．またFHサイクルはK_nのホモロジー上定義されるBatalin-Vilkovisky (BV) 作用素とも関連があり，本研究の成果はBV作用素の非自明性の証明にもつながるものと考えられる．研究代表者の過去の研究ではGramainサイクル上でのコサイクルの積分とVassiliev不変量を関連づける例も与えられているが，上記の結果においてFHサイクルをGramainサイクルに置き換えた形で同様の成果も与えることができた．

继去年之后，我们从其与 Vassiliev 不变量的关系的角度研究了嵌入空间的拓扑性质，特别是 n 维欧几里得空间中称为长结的嵌入类型的空间 K_n ． 2021年，我们将与Saki Kano合作，对K_3的一阶微分形式进行积分，该形式是通过对与Fox-Hatcher（FH）循环上的某个非三价图共循环相关的配置空间进行积分而获得的。三阶 Vassiliev 不变量可以通过以下方式获得在 2022 财年，我们将更详细地回顾这一结果，并且会发现，当任意给出缺陷 1（非三价图中简并度最小的图）的图余循环时，FH 循环上的积分为我们发现它总是给出瓦西里耶夫不变量。这个结果是针对K_3的，但是对于一般的K_n来说，余循环上的积分计算是类似的。一般不知道非三价图余循环是否给出 K_n 的非平凡上同调类，并且只知道少数零星的例子，但对于缺陷为 1 的图，证明非显而易见性的前景开始出现。 FH循环还与由K_n的同源性定义的Batalin-Vilkovisky（BV）算子有关，并且本研究的结果被认为导致了BV算子的非显而易见性的证明。研究负责人过去的研究中曾举过一个例子，其中余循环在Gramin循环上的积分与Vassiliev不变量有关，但将上述结果中的FH循环替换为Gramin循环也能得到类似的结果。我能够做到这一点。