無限次代数体のイデアル類群の自明性とその応用

无限代数域理想类群的平凡性及其应用

基本信息

批准号：
20K03563
负责人：
森澤貴之
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Kogakuin University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03563/
关键词：
単数類数代数体 Z_p-拡大イデアル類群

项目摘要

令和４年度、研究代表者は以下の研究を行った。１）ｐを素数とする。本研究課題において扱う無限次代数体の中で、有理数体上の円分的Z_p-拡大体を考える。本年度においても引き続き、この有理数体上の円分的Z_p-拡大体の無限個の中間体のイデアル類群の位数（類数）に注目して研究を行った。本研究課題で取り扱う有理数体上の実アーベル拡大体の類数はその単数群と円単数群の商群の位数と関連があることが知られており、特にその部分群である相対単数群を調べることで類数のある種の非可除性についての情報を得ることができる。令和３年度においては、その方向で研究を進め、相対単数群に対し、合同式から定まる部分群列と、ガロア作用から定まる部分群列の２つの異なる部分群列を定義し、それらの部分群列に関してある種の等式が成り立つことを示した。本年度も、同じ部分群列について研究を進め、より精密な結果を得ることができた。２）本年度は、上記の研究を他の実アーベル体上で展開すべく研究をすすめた。そのための第一歩として、ｐを４を法として１と合同な素数とし、有理数体にｐの平方根を付け加えた実アーベル体上の円分的Z_p-拡大体の場合に研究を進めた。この場合においても、上記の有理数体上の円分的Z_p-拡大体の場合と類似する現象がいくつか確認できた。これにより、相対単数群の２つの部分群列における同様の等式が成り立つことが予想されるため、そういった方向性で研究を進めている。

2020财年，主要研究者进行了以下研究。 1）设p为素数。在本研究项目处理的无限维代数域中，我们考虑有理数域上的循环 Z_p 扩展域。今年，我们继续研究有理数域上循环Z_p-扩展域的无限中间体的理想类群的阶数（类数）。已知本研究课题所处理的有理数域上的实阿贝尔扩张域的类数与奇异群和循环奇异群的商群的阶有关，尤其是与相对奇异群，它是实阿贝尔扩展域的一个子群，通过检查，我们可以获得有关类数的某些类型的不可整性的信息。在2021财年，我们将朝这个方向推进我们的研究，为相对奇异群定义两个不同的子群序列：一个由同余公式确定，另一个由伽罗瓦作用确定的子群序列，并且我们证明了某种等式对于组顺序。今年，我们继续对同一亚组序列进行研究，并能够获得更精确的结果。 2）今年，我们开展了研究，将上述研究扩展到其他实阿贝尔领域。作为实现这一目标的第一步，我们将 p 设置为模 4 且与 1 全等的素数，并对实阿贝尔域上的循环 Z_p 扩展域的情况进行了研究，即平方根相加p 到有理数域。在这种情况下，我们也证实了一些与上述有理数域上的循环 Z_p 扩展域的情况类似的现象。因此，预计相似的方程对于相对奇异群的两个子群序列也成立，因此我们正在朝这个方向进行研究。