Application of substitutive dynamical system to number theory

代换动力系统在数论中的应用

基本信息

批准号：
20K03528
负责人：
秋山茂樹
金额：
$ 2.66万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

金子元氏とともに Markoff-Lagrange スペクトルの乗法的な類似をPisot 数を底とする場合に研究した。この研究は特殊な記号力学系上に定まる関数の最適化問題に翻訳され、とくに禁止語が徐々に減り初めて非周期無限語が生ずるような臨界点の研究が重要となる。数論と記号力学系の間を繋ぐ公式が非常に重要な役割を果たす。釜江氏、金子氏とともにこの発展として一般の指数的に増大する線形回帰数列を扱う研究を行い。Pisot 数に限らない枠組みを作ることに成功した。関連してスツルム語とバランス語が臨界点の記述に現れる。スツルム語は無理回転のコードとして現れる無限語で、複雑度最小の非周期無限語としても特徴づけられる。この間の研究により Markoff-Lagrange スペクトルの研究を通じてバランス語の数え上げと数論の関係も明らかになってきた。バランス語のパラメータの存在する区間を指定したときの長さの増大に関する漸近挙動もわかり、さらに Riemann 予想とのつながりも見えてきた。スツルム語は語の組み合わせ論で基本的であるが、このような数論的な文脈での研究は少ない。筑波大の博士課程の Wen Fan 氏、浜田忠久氏とこれらの発展に関する研究を進めた。関連して金子氏とともに、円分多項式の数論的な問題を解くことができた。B.Loridant, J.Thuswaldner との共同で連続整数digit でできるタイルの位相構造、とくに切断点の存在に関する特徴付けを行った。さらに永井氏、J.Y.Lee との共同研究では、自己相似タイル張りのパターンにたいして等差的な構造がいかに現れるかを組織的に研究した。H.Hachem 氏との共同でSalem 数によるベータ展開に対応する記号力学系が sofic になる条件に関して調べた。この研究は離散回転の軌道とも関連していることが分かった。

我与 Hajime Kaneko 一起研究了皮索数基情况下马尔科夫-拉格朗日谱的乘法类比。这项研究转化为在特殊符号动力系统上确定的函数的优化问题，研究禁止词数量逐渐减少和非周期无限词只出现的临界点显得尤为重要。连接数论和符号动力系统的公式发挥着非常重要的作用。作为其发展，他与 Kamae 先生和 Kaneko 先生一起对呈指数增长的一般线性回归序列进行了研究。皮索成功地创建了一个不限于数字的框架。与此相关的是，Sturmian和平衡词出现在关键点的描述中。 Sturmian词是表现为强制旋转码的无限词，并且也被表征为具有最小复杂性的非周期无限词。这一时期对马尔科夫-拉格朗日谱的研究也阐明了平衡词计数与数论的关系。当指定平衡词参数存在的区间时，我们还发现了关于长度增加的渐近行为，并且还发现了与黎曼猜想的联系。 Sturmian 语言是单词组合学的基础，但在数论方面的研究很少。我们与筑波大学的博士生 Wen Fan 和 Tadahisa Hamada 一起对这些进展进行了研究。与此相关的是，我和金子先生一起解决了与循环多项式相关的算术问题。我们与 B.Loridant 和 J.Thuswaldner 合作，描述了由连续整数数字组成的图块的拓扑结构，特别是割点的存在。此外，在与 Nagai 先生和 J.Y.Lee 先生的联合研究中，我们系统地研究了算术结构如何在自相似平铺模式中出现。我们与 H. Hachem 先生合作，研究了与塞勒姆数的 beta 展开相对应的符号动力系统变得如此强大的条件。这项研究还被发现与离散旋转轨迹有关。