Lubin--Tate space and Galois representations

Lubin--泰特空间和伽罗瓦表示

基本信息

批准号：
20K03529
负责人：
津嶋貴弘
金额：
$ 2.91万
依托单位：
Chiba University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

数論幾何では、数論的な体や環上のスキームを主な研究対象とする。数論的な体としては、有限体、局所体、有理数体があげられる。それらのスキームの重要な普遍量として、エタールコホモロジーがあり、これについて分岐理論的な観点から研究している。エタールコホモロジーはDelign--Lusztig理論に代表されるように有限群との関係も深く様々な意味で興味深い対象である。当該年度はこれに関連することとして、特に以下のような事柄について研究を行った。有限体上の代数曲線の有理点を数え、その合同ゼータ関数を決定する問題は長い歴史を持ち古典的であるが一般解は無く現在も多方面から盛んに研究されている。符号理論への応用もある。一般化された鈴木曲線に関して上の問題を解決した。またその一般化についても研究を行った。鈴木曲線の一般化にあたる超特異代数曲線を用いて、局所体上のガロワ表現を構成し、その性質を調べた。これらの超特異代数曲線を用いて、ある種の代数多様体を構成した。その代数多様体の自己同型群は大きく、ユニタリー群や直交群を含む。それらの群のコホモロジーへの作用を調べ、指標を明示的に決定する研究を行った。この代数多様体に対して半単純予想を証明した。半単純予想が知られている多様体はそれほど多くないので、興味深い結果と考えている。以上の研究については論文作成が終わったものもそうでないものもあるため引き続き論文作成を行っていく予定である。

算术几何中，主要研究课题是环上的算术域和方案。数论域包括有限域、局部域和有理数域。 Etar 上同调是这些方案的一个重要的普遍量，我们正在从分支理论的角度研究它。 Etar 上同调在很多方面都是一个有趣的主题，因为它与有限群有着深厚的关系，以 Delig-Lusztig 理论为代表。今年，我们重点开展了以下方面的研究。计算有限域上代数曲线的有理点并确定其全等 zeta 函数的问题历史悠久，是一个经典问题，但没有通用的解决方案，仍在各个领域积极研究。编码理论也有应用。对于广义铃木曲线，上述问题得到了解决。我们还对其泛化进行了研究。使用超奇异代数曲线（Suzuki 曲线的推广），我们构建了局部域上的伽罗瓦表示并研究了它们的性质。利用这些超奇异代数曲线，我们构造了一种代数簇。代数簇的自同构群很大，包括酉群和正交群。我们研究了这些组对上同调的影响，并进行了研究以明确确定该指数。我们证明了这个代数簇的半简单猜想。我们认为这是一个有趣的结果，因为已知半简单猜想的流形并不多。关于上述研究，有些论文已经完成，有些还没有，所以我们打算继续写论文。