多元環の導来圏と安定性条件による実Grothendieck群の部屋構造

基于代数派生范畴和稳定条件的实格罗腾迪克群的房间结构

基本信息

批准号：
20J00088
负责人：
淺井聡太
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-24 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20J00088/
关键词：
多元環 Grothendieck群標準分解 2項準傾複体非rigid領域数値的ねじれ対 TF同値

项目摘要

今年度も、引き続き、有限次元多元環の有限生成射影加群圏のGrothendieck群について、考察を行った。最も大きな結果として、Derksen-Feiによる先行研究で提示された、Grothendieck群の元の標準分解に関する問いを、否定的に解決したことが挙げられる。その問いは、「Grothendieck群の元θが直既約であり自分自身と直和できないとき、θの正の整数倍も必ず同様の性質を満たすか」というものである。上記の性質は、遺伝的多元環などでは成立することが知られているが、一般の多元環では未解決の状況が続いていた。この重要な問いについて、私は反例を発見した。具体的には、Feiの先行研究をもとに、3-Kronecker箙多元環の特定の加群による自明拡大として得られる多元環を考え、ある直既約な元θが自分自身と直和できないにもかかわらず、2θがθと平行でない2つの元に直和分解されることを証明した。これは伊山修氏との共同研究の結果の一つとして、プレプリントを近日更新する予定である。また、Brustle-Smith-Treffingerによる実数係数Grothendieck群の部屋構造についても、研究を進めた。各2項前準傾複体Uについて、その直既約因子が定める錐の近傍N_Uを、私は以前の研究で具体的に定義した。この近傍は有理多面錐であり、今年度私は、2項前準傾複体と半煉瓦の関係を用いることで、面構造を詳しく調べることができた。具体的には、N_Uの余次元1の各面から、Uの直既約因子への自然な写像を構成した。こちらは上記の伊山修氏との共同研究から派生・分離した研究であるが、大半は私の成果である。今年度公開できた成果は、既存の研究結果の改訂が中心になってしまったことは、反省点であるが、いずれも重要な結果であり、今後の研究に役立てていきたい。

今年，我们继续考虑有限维代数的有限生成射影模范畴的格洛腾迪克群。最重要的结果是我们否定性地解决了 Derksen-Fei 在之前的研究中提出的关于格罗腾迪克群元素的标准分解的问题。问题是，“如果格洛腾迪克群的元素 θ 是直接不可约的，并且不能直接与其自身求和，那么 θ 的正整数倍是否一定满足相同的性质？”已知上述性质在遗传多维环中成立，但在一般多维环中这种情况仍未得到解决。我找到了这个重要问题的反例。具体来说，基于费先生之前的研究，我们考虑通过特定模对3-克罗内克代数进行平凡扩展而获得的代数，并发现某个不可约元素θ不能直接与其自身相加，但我们证明了2θ可以。分解为两个不平行于 θ 的元素。这是与 Osamu Iyama 联合研究的成果之一，我们计划很快更新预印本。我们还研究了 Brustle-Smith-Treffinger 实数系数 Grothendieck 群的房间结构。在我之前的研究中，我专门定义了由每个二元预倾斜复数U的不可约因子定义的锥体的邻域N_U。这个邻域是一个有理多面体锥体，今年我能够利用 2 项预倾斜复合体和半砖之间的关系来详细研究其表面结构。具体来说，我们构建了从 N_U 的余维 1 的每个面到 U 的直接不可约因子的自然映射。这项研究源自和分离于上述与井山修的联合研究，但大部分是我自己的成果。我们很遗憾今年能够发表的结果主要是对现有研究结果的修订，但它们都是重要的结果，我们希望将它们用于未来的研究。