Studies on noncommutative algebraic geometry

非交换代数几何研究

基本信息

批准号：
20H01797
负责人：
大川新之介
金额：
$ 11.07万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H01797/
关键词：
非可換代数幾何学導来圏代数曲面極小モデル理論

项目摘要

非可換代数幾何学の諸課題に取り組んだ。まず、（特に正標数で定義された）中心上有限生成な非可換非特異代数曲面と代数スタックの森田同値について研究した。主結果は、前者に対して具体的な方法で非特異な（従順）代数スタックが構成でき、前者の上の連接加群の圏が後者の上の1-捻り連接層の圏と同値になるというものである。この直接の系として、前者がOrlovの意味の幾何学的非可換スキームであることがわかった。また、前者のHochschild cohomologyが後者のそれの直和因子であることもわかった。以上を共著 arXiv:2206.13359 として発表した。また、極小代数多様体の導来圏の半直交分解に関する予想に進展があった。報告者らの以前の研究により、標準線型系の基点集合が半直交分解に強い制約をかけることがわかっていたが、これを射に対して一般化（相対化）したものが有用であることを発見したため、これを証明した。相対版は、射に対する線型性を満たす特別な半直交分解のみに関する定理だが、相対標準線型系の基点集合は通常のそれよりも小さいので、その分だけ更に強い制約が得られる。一方、任意の半直交分解がAlbanese射に対して線型であることをPirozhkovが証明していた。よって、これに相対版の定理を適用することで、任意の半直交分解について従前よりも強い主張が得られた。特に、非正則数が正の極小代数曲面の導来圏が非分解であることが証明できた。以上を arXiv:2304.14048 として発表した。また、非可換2次曲面の偏極の分類と2次Hirzebruch曲面の導来圏の球面捻りとの関係を書き下すことができた。さらに、詳細は本課題を基課題とする国際共同研究強化の報告に譲るが、ある種の非可換3次元射影空間の3次曲面を非可換射影平面の6点爆発として記述する研究に大きな進展があった。

我研究了非交换代数几何中的各种问题。首先，我们研究了有限生成的中心非交换非奇异代数面（特别是具有正特征定义的）和代数栈的森田等价性。主要结果是，可以以具体的方式构造前者的非奇异（服从）代数栈，并且前者的合取模的范畴相当于后者的1-扭转合取滑轮的范畴。就是这样。作为其直接推论，事实证明前者是奥尔洛夫意义上的几何非交换方案。我们还发现前者的Hochschild上同调是后者的直和因子。以上内容作为共同作者发表于 arXiv:2206.13359。此外，关于最小代数簇的派生范畴的半正交分解的猜想也取得了进展。作者之前的研究表明，标准线性系统的基点集对半正交分解施加了很强的约束，但将其推广（相对化）到态射是有用的，这一点已通过发现证明。相对版本是一个只涉及满足态射线性的特殊半正交分解的定理，但由于相对标准线性系统的基点集合比正常系统小，因此可以获得更强的约束。另一方面，Pirozhkov 证明了任何半正交分解对于 Albanese 态射都是线性的。因此，通过应用相对版本定理，我们获得了比以前更强的关于任意半正交分解的论证。特别是，我们能够证明具有正非正则数的最小代数曲面的派生类别是不可分解的。以上发布为 arXiv:2304.14048。此外，我还能够写出非交换二次曲面的极化分类与二次 Hirzebruch 曲面的派生类别的球面扭转之间的关系。此外，虽然详细内容将推迟到基于该项目的加强国际联合研究的报告中，但正在研究将某个非交换三维射影空间的立方表面描述为六点爆炸非交换射影平面的研究取得了重大进展。