物理学・情報科学に共通する大規模行列関数の総合的数値計算法の創成

创建物理和信息科学常见的大规模矩阵函数的综合数值计算方法

基本信息

批准号：
20H00581
负责人：
曽我部知広
金额：
$ 29.2万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

行列関数は初等関数の行列への拡張であり、行列実数乗・行列指数関数・行列対数関数が代表的であり、本研究では、行列関数の「任意の要素を高精度から低精度まで算出可能」とする超大規模行列関数の数値計算法の理論を確立し、理論と応用のフィードバック構造を有する密な連携により総合的数値計算法の創成・実用化を図ることを目的としている。具体的には、行列関数の積分表示に着目し、国産の強力な数値積分公式である二重指数関数型数値積分公式を活用した計算法の創成を行う。これまで、行列実数乗と行列対数関数の数値計算法の開発は成功した。そこで今年度は、理論面では行列対数関数の数値計算法の開発に着手した。これまでと異なり積分表示が知られていないため、積分表示を明らかにする研究を進めた。この積分表示を見つけられたことが研究の進展であった。しかしながら、被積分関数はこれまでとは異なる振動型であり、通常の二重指数関数型数値積分公式とは相性が悪い。そこで、振動型に対応する特殊な二重指数関数型数値積分公式を活用し、数値計算法の設計を行なっている途中である。一方、行列実数乗と行列対数関数の数値計算法については成書（Springer）の中にまとめることができた。また、理論研究の一つである精度保証法についてもテスト行列の生成法に関する成果が得られた。応用面においても一定の成果が得られた。具体的にはデータ解析ソフトウェアの開発、量子色力学の研究、データ同化、微分方程式の数値解法、量子信号のグラム行列の固有値の研究などである。

矩阵函数是初等函数对矩阵的扩展，典型的例子包括矩阵实幂、矩阵指数函数和矩阵对数函数。本项目的目的是建立超大规模矩阵函数数值计算方法的理论，以及通过理论与应用之间的反馈结构的密切配合，创建综合数值计算方法并将其付诸实践。具体来说，我们将重点关注矩阵函数的积分表示，并创建一种利用双指数数值积分公式的计算方法，这是一个强大的国产数值积分公式。到目前为止，我们已经成功开发了矩阵有功功率和矩阵对数函数的数值计算方法。因此，今年在理论方面，我们开始开发矩阵对数函数的数值计算方法。与过去不同的是，积分表示是未知的，因此进行了研究以澄清积分表示。这种积分表示的发现标志着研究的进展。然而，被积函数是与以前不同的振荡类型，并且与通常的双指数类型数值积分公式不兼容。因此，我们正在设计一种数值计算方法，使用与振荡类型相对应的特殊双指数数值积分公式。另一方面，我在一本书（Springer）中总结了矩阵实数幂和矩阵对数函数的数值计算方法。此外，作为理论研究之一的精度保证方法也得到了测试矩阵生成方法的结果。在应用领域也取得了一定的成果。具体来说，我的研究兴趣包括数据分析软件的开发、量子色动力学的研究、数据同化、微分方程的数值求解以及量子信号的格拉姆矩阵的特征值的研究。