Study for nonlinear partial differential equation with Sobolev critical/supercritical nonlinearity

具有Sobolev临界/超临界非线性的非线性偏微分方程研究

基本信息

批准号：
20K03706
负责人：
菊池弘明
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Tsuda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度は、主に浜野大氏(早稲田大)と渡邉南氏(津田塾大)との共同研究で、空間3次元で3次と5次のべき乗型非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の解の大域挙動について調べた。この方程式には、基底状態と呼ばれる重要な定常解がある。この方程式の解で、対応するエネルギー汎関数の値が基底状態のそれよりも小さいものについては、ある時刻で爆発するか、線形の解に近づくような2種類の解があることが既に分かっている。そこで、Threshold solutionという、基底状態と同じエネルギー汎関数の値を持つ解について調べた。この場合は、上記の結果とは異なり、正の方向の時刻無限大で基底状態に漸近して、負の方向の時刻無限大で爆発する解や線形の解に近づくような解があることが分かった。このような結果は単純ベキの非線形項においては、既にDuycaerts-Merle (2009), Duycaerts-Roudenko(2010)により得られているが、彼らの手法では、２重ベキの非線形項に対しては直ちに適用することは困難であるように思われる。ここでは、Nakanishi-Schlag(2010)によるone-pass theoremを用いることでこの困難を克服することが出来た。また、二重ベキの非線形シュレディンガー方程式の基底状態の一意性については、ある場合においては、Coles-Gustfson(2020)により得られているが、ここでは、彼らの手法とAkahori-Ibrahim-Ikoma-Kikuchi-Nawa(2019)の手法を組み合わせることで直接的な証明を与えることが出来た。さらには、4階非線形シュレディンガー方程式の基底状態の存在についてである。ここでは、エネルギー臨界の増大度を持つ一般的な非線形項に対して、基底状態が存在することが分かった。

今年，我们主要与滨野大（早稻田大学）和渡边南（津田大学）进行联合研究。该方程有一个重要的稳态解，称为基态。我们已经知道这个方程有两种解，其中对应的能量泛函的值小于基态的值：要么在某个时刻爆炸，要么接近线性解。因此，我们研究了一个与基态具有相同能量泛函值的阈值解。在这种情况下，与上面的结果不同，可能存在在正方向上无穷远时渐近逼近基态的解，而在负方向上无穷远时爆炸或逼近线性解。 Duycaerts-Merle (2009) 和 Duycaerts-Roudenko (2010) 已经针对简单幂非线性项得出了这样的结果，但他们的方法立即得出双幂非线性项的结果似乎很难应用。在这里，我们通过使用 Nakanishi-Schlag (2010) 的一次性定理克服了这一困难。另外，Coles-Gustfson (2020) 在某些情况下已经获得了双幂非线性薛定谔方程基态的唯一性，但这里我们将讨论他们的方法和 Akahori-Ibrahim-Ikoma-Kikuchi -通过结合Nawa (2019) 的方法，我们能够提供直接证明。此外，还涉及四阶非线性薛定谔方程基态的存在性。在这里，我们发现对于能量关键增长的一般非线性项存在基态。