微分方程式の特異点の合流，ルート系の退化，そしてモジュライ空間の変形理論

微分方程奇点汇合、根系退化和模空间变形理论

基本信息

批准号：
20K03648
负责人：
廣惠一希
金额：
$ 2万
依托单位：
Chiba University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K03648/
关键词：
ミドルコンボリューション組紐群結び目超平面配置微分方程式のモジュライ空間正則ポワソン多様体正則シンプレクティック多様体の変形微分方程式の特異点の合流不確定特異点モジュライ空間シンプレクティック幾何学複素多様体の変形理論複素領域の微分方程式箙多様体

项目摘要

今年度はKatzのミドルコンボリューションのホモロジー的定式化に関する研究を行った．ミドルコンボリューションは元来Katzによって偏屈層によって定式化されていたものを，VolkleinやDettweiler-Reiterによって行列の組への操作とし再定化がなさていた．この行列を用いた定式化によって，ミドルコンボリューションや微分方程式のモジュライ空間が箙の表現やその鏡映関手と結びついて理論が大きく発展してきた．その反面，行列による定式化は基本群の生成系や表現空間の基底の取り方に強く依存しており，またKatzによる元来の定義では明確であった様々な関手的性質などが見えにくくなってしまうという欠点もあった．こうした背景のもとで，偏屈層による定式化と行列による定式化をつなぐために，局所系を係数とするホモロジー群を用いてミドルコンボリューションを再定式化して整理をした．こうしたことでミドルコンボリューションの持つ関手性，そして積分変換であるEuler変換との対応，そして基底を固定した際のモノドロミー群の具体的計算法，などが統一的に理解できるようなった．さらにその恩恵として，このホモロジー的再定式化を経由することで，これまで穴の空いたリーマン球面上のモノドロミー表現にのみ定義されていたミドルコンボリューションが，より広い位相多様体の上で定義されたモノドロミー表現への自然に拡張されることが示される．特にこれによって，ミドルコンボリューションの枠組みを，組紐群の表現，結目群の表現，超平面配置の補空間の基本群の表現，などに自然に拡張できた．

今年，我们对Katz中间卷积的同调公式进行了研究。中间卷积最初由 Katz 表述为偏置层，但 Volklein 和 Dettweiler-Reiter 将其重新表述为对一组矩阵的运算。通过使用该矩阵的公式化，通过将中间卷积和微分方程的模空间与颤动表示及其反射函子联系起来，该理论得到了极大的发展。另一方面，矩阵公式强烈依赖于基本群的生成系统和表示空间的基础，并且很难看到卡茨原始定义中明确的各种类似函子的性质，这也存在缺陷。它变成了在此背景下，为了连接使用偏心层的公式和使用矩阵的公式，我们使用以局部系统作为系数的同源群重新公式化和组织中间卷积。通过这些努力，我能够统一地理解中间卷积的函子性质，它与欧拉变换（积分变换）的对应关系，以及基固定时计算单峰群的具体方法。此外，作为一个好处，通过这种同调重构，以前仅在带孔的黎曼球上的单向表示中定义的中间卷积现在可以在更广泛的拓扑流形上定义，这表明它自然地延伸。到单一性表达。特别是，这使我们能够自然地将中间卷积的框架扩展到辫子群、结群、超平面配置的互补空间的基本群等的表达。