A New Approach and Development to Singular Integrals in Noncommutative Harmonic Analysis - Fusion of Real Analysis and Representation Theory

非交换调和分析中奇异积分的新方法和发展——实分析与表示论的融合

基本信息

批准号：
20K03638
负责人：
河添健
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

半単純リー群上の特異積分論に関し、アーベル変換を用いてユークリッド空間上の特異積分論に帰着させる方法を確立するのが本研究の目的である。ヤコビ解析のような1ランクの場合にはある程度結果を得ることができたが、高ランクの場合への拡張を試みている。具体的な計算に頼ることができず研究は困難を極めている。また1ランクの場合でも各種の特異積分のLp有界性を得る過程ではハーディ空間のアトム分解が必要となり、ユークリッド空間のアトムの類型を得ることに苦労している。このような状況な中で、ユークリッド空間のアトムをアーベル逆変換を用いてヤコビハイパー群上のアトムを定義したとき、アトムが分解されることに注目した。物理学のクウォーク分解に対応させて、アトムのクウォーク分解と名付けた。このようなクウォーク関数は一般に多数定義することができるが、その和がアトムになるにはモーメント０の条件が必要となる。物理学のクウォークが素粒子を形成するのは色無しの条件が必要なことと類似しており興味深い。またこのクウォーク関数の評価はそのサポートに依存し、ヤコビハイパー群が重みを持つ空間であることに対応している。このようなアトム分解より詳細なクウォーク分解を用いることにより、いくつかの特異積分の(H1,L1)有界性を導くことができた。高ランクの場合の研究は困難に直面し、停滞しているが、1ランクの場合に新たな発見が選られた。現在、論文を執筆中である。

本研究的目的是建立一种使用阿贝尔变换将半单李群的奇异积分理论还原为欧几里得空间的奇异积分理论的方法。尽管我们能够在雅可比分析等 1 阶案例中获得一些结果，但我们正在尝试将其扩展到高阶案例。研究极其困难，因为不可能依赖具体的计算。此外，即使在1阶的情况下，获得各种奇异积分的Lp有界性的过程也需要Hardy空间的原子分解，并且很难获得欧几里得空间中的原子类型。在这种情况下，我们关注这样一个事实：当使用阿贝尔逆变换将欧几里得空间中的原子定义为雅可比超群上的原子时，该原子被分解。我们将其命名为原子的夸克分解，对应于物理学的夸克分解。一般情况下，可以定义大量这样的夸克函数，但其和要成为原子需要零矩的条件。有趣的是，物理学中夸克形成基本粒子的事实与不需要颜色的条件类似。这个夸克函数的评估也取决于它的支持度，对应于雅可比超群是一个带有权重的空间这一事实。通过使用比原子分解更详细的夸克分解，我们能够导出一些奇异积分的 (H1,L1) 有界性。高级别案例的研究遇到困难、停滞不前，而一级案例的研究却不断有新的发现。目前正在写论文。