リッチ曲率に関する空間の収束・崩壊とスペクトル収束の新展開

里奇曲率空间收敛/塌陷和谱收敛的新进展

• 批准号: 20H01799
• 负责人: 本多 正平
• 金额: $ 11.07万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H01799/
• 关键词: リッチ曲率; ラプラシアン; スペクトル

前年度に引き続きRCD空間の研究を行った．まずRCD空間から滑らかなリーマン多様体への写像の正則性を定義し，それに基づいて新しいエネルギーを定め，それに関するコンパクト性定理をえた．またそのエネルギーと既存のエネルギーの概念，例えばKorevaar-Schoenのエネルギーなどとの同値性を示した．それらの証明の鍵となるのは，rectifiabilityを固有関数族で実現することであり，その実現に以前の研究である，RCD空間の熱核の振る舞いを用いた．それらの結果の応用として，部分多様体論で古典的に知られていた高橋の定理を滑らかでない空間に対して完全に一般化できた．これは昨年度までの研究で残っていた部分が達成されたことを意味する．以上はジョンズホプキンス大学のYannick Sire氏との共同研究で，一本の論文にまとめて雑誌に投稿した．また，ピサ高等師範学校のCamillo Brena氏，シッサのNicola Gigli氏，ジョージア工科大学のXingyu Zhu氏とともに非崩壊RCD空間の特徴付けに関するDePhilippis-Gigliの予想を完全に解決し，その応用を与えた．それらは一本の論文にまとめ，雑誌に投稿し，アクセプトされた．また，東北大学のYuanlin Peng氏と共同で，Cheeger-Coldingによる位相的安定性定理の改良化を行った．これは同相写像のリプシッツ性も証明するもので，既存の手法では届かなかった結果である．そのための鍵は写像の適切な変換と，ほぼ線形増大度をもつ調和関数に関するリュービル型の定理であった．それらの結果はシャープであることも例を与えて示した．この結果は一本の論文にまとめ，雑誌に投稿し，アクセプトされた．

继去年之后，我们对RCD空间进行了研究。首先，我们定义了从RCD空间到光滑黎曼流形映射的正则性，并在此基础上定义了新的能量，并得到了关于它的紧性定理。他还证明了这种能量与现有能量概念（例如科雷瓦-舍恩能量）的等价性。这些证明的关键是使用一系列本征函数来实现可整流性，为了实现这一点，我们使用了 RCD 空间中的热核行为，这是之前研究过的。作为这些结果的应用，我们能够将子流形理论中经典的高桥定理完全推广到非光滑空间。这意味着截至去年的剩余研究部分已经完成。以上是与约翰·霍普金斯大学的Yannick Sire 的联合研究，并被汇编成一篇论文并提交给期刊。此外，他还与比萨师范学校的Camillo Brena、西萨大学的Nicola Gigli、佐治亚理工学院的朱星宇等人一起，彻底解决了关于非塌陷RCD空间表征的DePhilippis-Gigli猜想并给出了其应用。它们被汇编成一篇论文，提交给期刊并被接受。此外，我们与东北大学的彭元林合作，利用Cheeger-Colding改进了拓扑稳定性定理。这也证明了同胚的Lipschitz性质，这是现有方法无法实现的结果。其关键是对具有近似线性增长的调和函数的映射和刘维尔型定理进行适当的变换。我们还举了一个例子来表明结果是尖锐的。结果被汇编成一篇论文，提交给期刊并被接受。

项目成果

Ricci曲率が下に有界な空間の間の写像のエネルギー

里奇曲率以下的空间之间的映射能量

• 发表时间: 2021
• 作者: WANG YARU & Ichikawa;M.;Masato Sakano;本多正平
• 通讯作者: 本多正平

Isometric immersions of RCD spaces

• DOI: 10.4171/cmh/519
• 发表时间: 2020-05
• 期刊: Commentarii Mathematici Helvetici
• 影响因子: 0.9
• 作者: Shouhei Honda

Georgia Institute of Technology(米国)

佐治亚理工学院（美国）

Politecnico di Torino(イタリア)

都灵理工大学（意大利）

Weakly non-collapsed RCD spaces are strongly non-collapsed

• DOI: 10.1515/crelle-2022-0071
• 发表时间: 2021-10
• 期刊: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)
• 作者: Camillo Brena;N. Gigli;Shouhei Honda;Xingyu Zhu