Effective use of multi-precision arithmetic on floating number system of digital computers aiming at numerical computations of differential equations with singulari or ill-posedness

针对奇异或不适定微分方程的数值计算，有效利用数字计算机浮点数系统的多精度运算

基本信息

批准号：
21H00999
负责人：
磯祐介
金额：
$ 10.48万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本課題研究では、主として現象の数理モデルとしての偏微分方程式の数値解析と数学解析を論じている。偏微分方程式の数学解析では、解の有する特異性や不安定性をどのように正則化するかが純粋数学としては重要な論点であり、このために様々な概念が提唱され、また種々の函数空間が導入される。一方で、現象の数理モデルとしての微分方程式の議論においては、特異性は単に正則化されるべき「特異」な挙動と考えることは慎重で有らねばならない。実際、解の特異性や不安定性は対象とする系・現象の重要な物理量などと関連している場合が散見され、この特異性を定量的に論じることが重要となる事例も少なくない。しかし解の「特異性」は数値計算の発散や不安定性と表裏一体であるため、特異性を定量的に論じることはきわめて困難である。既存の理論の単純適用では、特異性を定量的に数値計算によって扱うことはきわめて困難である。本課題研究ではこのような問題意識と現状認識の下で、研究代表者と分担者の過去の研究実績を踏まえて、代表者と分担者が分業によって幾つかの具体的な問題に限定的に取組、数学解析に裏付けられた数値計算法を新たに確立することによって特異性の定量的な議論を行なおうとしている。２年度は初年度に引き続き１階双曲型方程式の有限要素法解析について成果を得、先行研究を超えたシャープな収束評価を与えるに至った。逆問題解析については医用断層撮影の数値解析にかかる国際共同研究の推進を図った。さらにポテンシャル逆問題を再考し、Zidarov による bubbling アルゴリズムの再検討を行いこの手法の有効性の検証を行った。

在本研究项目中，我们主要讨论作为现象数学模型的数值分析和偏微分方程的数学分析。在偏微分方程的数学分析中，如何正则化解的奇异性和不稳定性是纯数学中的一个重要问题，为此提出了各种概念，并引入了各种函数空间。另一方面，当将微分方程讨论为现象的数学模型时，我们必须小心，不要将奇点简单地视为应该正则化的“奇异”行为。事实上，在某些情况下，解的奇点或不稳定性与目标系统或现象的重要物理量有关，并且在很多情况下定量讨论这种奇点很重要。然而，由于解的“奇异性”与数值计算的发散性和不稳定性有着千丝万缕的联系，因此定量地讨论奇异性是极其困难的。单纯应用现有理论通过数值计算来定量处理奇点是极其困难的。在本研究项目中，带着这样的问题意识和现状认识，在主要研究者和合作者以往的研究成果的基础上，主要研究者和合作者将通过分工针对几个具体问题进行尝试。通过建立数学分析支持的新的数值计算方法来定量讨论特异性。继第一年的第二年，我们在一阶双曲方程的有限元分析方面取得了成果，并且能够提供比以前的研究更清晰的收敛性评估。在反问题分析方面，推动医学断层成像数值分析的国际联合研究。此外，我们重新考虑了潜在的逆问题，重新审视了Zidarov的冒泡算法，并验证了该方法的有效性。