確率場データ解析のための積分・位相幾何的手法と期待オイラー標数法の新展開

随机场数据分析的积分/拓扑方法和预期欧拉特征方法的新进展

基本信息

批准号：
21H03403
负责人：
栗木哲
金额：
$ 9.73万
依托单位：
The Institute of Statistical Mathematics
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

(1) 一般次元の添字を持つ弱非ガウス確率場のレベルセットの期待ミンコフスキー汎関数の摂動展開を与えた．非ガウス性を高次のスペクトルで記述し，それらの関数の形で摂動展開を与えた．さらにはシミュレータの生成するデータを用いて，宇宙論研究で現れる非ガウス性の範囲で，摂動展開公式は現実をよく再現することを確認した．(2) 課題 (1) をさらに数学的に定式化，厳密化するために，独立同一分布に従うN個の確率場の基準化として定義される中心極限確率場 (central limit random field) を研究対象とした．また合同変換に対して不変な非ガウス性を記述するために合同変換について不変な等方的キュムラントを導入し，その関数の形で期待ミンコフスキー汎関数の漸近展開をNの漸近展開の形で与えた．その際に条件付き密度関数の漸近展開公式を用意した．最後にカイ2乗確率場を例題として，理論結果の正しさを確認した．また項目 (1) の結果との整合性も確認した．(3) ガウス確率場の最大値分布を近似するための期待オイラー標数法とチューブ法は，確率場の周辺分布が均一であるときには十分に研究されてきた．一方で周辺分布が不均一である場合，すなわち平均，分散が定数でない場合は十分には議論されていなかった．周辺分布が均一でない場合は，検定の文脈では検出力に相当し重要である．本年度はガウス確率場のKaruhunen-Loeve展開が有限である場合について，チューブ法の考えに基づいて，最大値の上側確率とその近似誤差のレートを導出した．(4) 宇宙の大規模構造の力学的統計解析の手法として，密度場の空間微分を含む3点統計量 (skewness parameters) を使う手法を提案した．実空間と赤方偏移空間においてそれらの理論値が計算できることを確認した．また標準的なアインシュタイン重力理論のもとでなりたつ3点統計量間の関係式を見出し，それが非標準理論のもとでどのように破れるのかを調べた．

（1）我们为一组具有一般维度索引的弱弱的非高斯随机场提供了预期的Minkowsky功能的扰动扩展。在高阶光谱中描述了非高斯性，并以这些功能的形式给出了扰动扩张。此外，使用模拟器生成的数据，我们证实了扰动开发公式在宇宙学研究中出现的非高斯范围内重现现实。（2）为了进一步数学制定和完善任务（1），我们研究了中心极限随机字段，该字段定义为根据相同独立分布的N随机场的标准化。此外，为了描述不变的非高斯性转换的不变性，引入了不变的各向同性累积液的一致转化，并且以该功能的形式，预期的Minkowsky功能的渐近扩展是以N.的渐近扩展形式给出的。最后，我们使用卡方随机场作为一个例子来确认理论结果的正确性。我们还确认了项目（1）结果的一致性。（3）当随机场的边际分布统一时，已经对高斯随机场的最大值分布进行了预期的欧拉元素方法和试管法。另一方面，当边际分布是异质的，即，当平均值和方差不变时，尚未完全讨论它。如果边缘分布不统一，则与功率相对应，并且在测试的背景下很重要。今年，当高斯随机场的karuhunen-loeve膨胀是有限的时，我们基于管道方法得出了最大值的最大概率及其近似误差速率。（4）我们提出了一种使用三点统计参数（包括密度场的空间分化）对宇宙大规模结构进行机械统计分析的方法。我们已经确认可以在真实空间和红移空间中计算这些理论值。我们还发现了基于标准爱因斯坦重力理论的三点统计数据之间的关系，并研究了如何在非标准理论下破裂。