確率場データ解析のための積分・位相幾何的手法と期待オイラー標数法の新展開

随机场数据分析的积分/拓扑方法和预期欧拉特征方法的新进展

基本信息

批准号：
21H03403
负责人：
栗木哲
金额：
$ 9.73万
依托单位：
The Institute of Statistical Mathematics
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

(1) 一般次元の添字を持つ弱非ガウス確率場のレベルセットの期待ミンコフスキー汎関数の摂動展開を与えた．非ガウス性を高次のスペクトルで記述し，それらの関数の形で摂動展開を与えた．さらにはシミュレータの生成するデータを用いて，宇宙論研究で現れる非ガウス性の範囲で，摂動展開公式は現実をよく再現することを確認した．(2) 課題 (1) をさらに数学的に定式化，厳密化するために，独立同一分布に従うN個の確率場の基準化として定義される中心極限確率場 (central limit random field) を研究対象とした．また合同変換に対して不変な非ガウス性を記述するために合同変換について不変な等方的キュムラントを導入し，その関数の形で期待ミンコフスキー汎関数の漸近展開をNの漸近展開の形で与えた．その際に条件付き密度関数の漸近展開公式を用意した．最後にカイ2乗確率場を例題として，理論結果の正しさを確認した．また項目 (1) の結果との整合性も確認した．(3) ガウス確率場の最大値分布を近似するための期待オイラー標数法とチューブ法は，確率場の周辺分布が均一であるときには十分に研究されてきた．一方で周辺分布が不均一である場合，すなわち平均，分散が定数でない場合は十分には議論されていなかった．周辺分布が均一でない場合は，検定の文脈では検出力に相当し重要である．本年度はガウス確率場のKaruhunen-Loeve展開が有限である場合について，チューブ法の考えに基づいて，最大値の上側確率とその近似誤差のレートを導出した．(4) 宇宙の大規模構造の力学的統計解析の手法として，密度場の空間微分を含む3点統計量 (skewness parameters) を使う手法を提案した．実空間と赤方偏移空間においてそれらの理論値が計算できることを確認した．また標準的なアインシュタイン重力理論のもとでなりたつ3点統計量間の関係式を見出し，それが非標準理論のもとでどのように破れるのかを調べた．

(1) 我们给出了具有一般维数索引的弱非高斯随机场的水平集的期望闵可夫斯基函数的摄动展开。我们使用高阶谱描述了非高斯性质，并以这些函数的形式给出了微扰展开。此外，使用模拟器生成的数据，我们证实微扰展开公式在宇宙学研究中出现的非高斯范围内很好地再现了现实。 (2) 为了进一步在数学上表述并使问题(1)更加严格，我们关注中心极限随机场，它被定义为遵循独立且相同分布的N个随机场的标准化。此外，为了描述对同余变换不变的非高斯性质，我们引入了对同余变换不变的各向同性累积量，并以 N 的渐近展开的形式给出了期望 Minkowski 泛函的渐近展开。塔。当时，我们准备了条件密度函数的渐近展开式。最后以卡方随机场为例验证了理论结果的正确性。我们还确认了与第(1)项的结果一致。 (3)深入研究了随机场边缘分布均匀时逼近高斯随机场最大值分布的期望欧拉特征法和管法。另一方面，边缘分布不均匀的情况，即均值和方差不恒定的情况，尚未得到充分讨论。如果边际分布不均匀，则在测试中很重要，因为它对应于功效。今年，针对高斯随机场的Karuhunen-Loeve展开有限的情况，我们基于管子法的思想推导了最大值的上概率及其逼近误差率。（4）作为宇宙大尺度结构的动力学和统计分析方法，我们提出了一种使用包括密度场空间微分在内的三点统计（偏度参数）的方法。我们确认这些理论值可以在实空间和红移空间中计算。我们还发现了作为标准爱因斯坦引力理论基础的三点统计之间的关系，并研究了它在非标准理论下是如何破裂的。