Classification of stability and instability of solitary waves for nonlinear Schroedinger equations

非线性薛定谔方程的孤波稳定性和不稳定性分类

基本信息

批准号：
20K14349
负责人：
深谷法良
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Tokyo University of Science
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的は、非線形シュレディンガー方程式の孤立波解の安定性／不安定性を全ての周波数に対して分類する手法を開発すること、そしてその周りの解の大域挙動を解明することである。また孤立波解の構造解析やその形状の性質の解明も行う。戍亥隆恭氏、林雅行氏との共同研究で2次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式系の進行波解について研究を行った。方程式が質量共鳴条件を満たす場合は定在波解にガリレイ変換を施すことで進行波解を構成できるが、質量共鳴条件を満たさない場合はガリレイ不変性がないため進行波解の存在自体が非自明となる。本研究では変分的手法を用いて進行波解を構成した。特に質量共鳴条件を満たさないとき、定常問題の一方の非線形楕円型方程式がゼロマスに相当する場合にも進行波解が存在することを示した。さらにゼロマスの進行波解を用いて、初期値に大きな振動因子を掛けることで時間大域解が構成できることを示した。本結果はガリレイ不変性の有無が進行波解の構造に影響を与えることを示している。本結果は学術雑誌に掲載済みである。今後は構成した進行波解の一意性・対称性・空間遠方での減衰性・安定性／不安定性を新たな課題として研究を行っていく予定である。また二重べき型非線形シュレディンガー方程式の定常解の安定性解析および2次元における点相互作用を持つ非線形シュレディンガー方程式の小さい定在波解の漸近安定性の解析も本課題のプロジェクトとして現在進行中である。

本研究的目的是开发一种方法，对所有频率的非线性薛定谔方程的孤立波解的稳定性/不稳定性进行分类，并阐明其周围解的全局行为。我们还将分析孤立波解的结构并阐明其形状的性质。在与Takayasu Gei先生和Masayuki Hayashi先生的联合研究中，我们研究了具有二阶非线性项的非线性薛定谔方程组的行波解。如果方程满足质量共振条件，则对驻波解应用伽利略变换可以构造行波解，但如果不满足质量共振条件，则不存在伽利略不变性，因此行波解的存在性它本身是无效的。在本研究中，我们使用变分法构建了行波解。特别是，我们证明，当不满足质量共振条件时，即使稳定问题的一个非线性椭圆方程对应于零质量，行波解也存在。此外，使用零质量行波解，我们表明可以通过将初始值乘以大振荡因子来构造时间全局解。该结果表明，伽利略不变性的存在与否会影响行波解的结构。这些结果已经发表在学术期刊上。未来，我们计划将所构造的行波解的唯一性、对称性、衰减特性以及稳定性/不稳定性作为新问题进行研究。此外，作为该项目的一部分，目前正在进行双幂非线性薛定谔方程稳态解的稳定性分析以及具有二维点相互作用的非线性薛定谔方程小驻波解的渐近稳定性分析。。