Geometric inequalities of dual volumes of convex bodies and properties of additions of convex bodies derived from the inequalities

凸体对偶体积的几何不等式及由不等式导出的凸体相加性质

基本信息

批准号：
20K14320
负责人：
坂田繁洋
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Fukuoka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

今年度は、Euclid距離のp-2乗とEuclid平面上の凸多角形の定義関数とのたたみ込みの評価を行った。一般に、Euclid距離のp-n乗とn次元Euclid空間内の有界な開集合Kの定義関数とのたたみ込みは、Kのp-n乗モーメントとよばれる。Kのp-n乗モーメントはpが正であるときに収束し、n次元Euclid空間上の関数である。今年度は、凸多角形のp-2乗モーメントの最大値(pが2より小さいとき)・最小値(pが2より大きいとき)の評価に取り組んだ。今年度の研究の問題意識は図形の形状決定問題にある。すなわち、Euclid平面上に凸多角形が2つ与えられたとき、それらのp-2乗モーメントの値を比べることで、それらが合同か合同でないかを判定したい。先行研究として、平面上の凸多角形Pのp-2乗モーメントのP上の積分によるPの形状決定問題が挙げられる。今年度の研究の動機は、先行研究の積分を最大値(pが2より小さいとき)・最小値(pが2より大きいとき)に代えた問題が成り立つかどうかである。今年度は、定理「与えられた面積をもつ正凸多角形のp-2乗モーメントの最大値(pが2より小さいとき)・最小値(pが2より大きいとき)は、正凸多角形の頂点の個数に関して狭義単調である」と、命題「与えられた周長をもつ正凸多角形のp-2乗モーメントの最大値(pが2より小さいとき)・最小値(pが2より大きいとき)は、正凸多角形の頂点の個数に関して単調とは限らない」を示した。凸多角形のp-2乗モーメントは、定数倍の差を除いて、凸多角形のp次の双対体積に等しい。この意味で、今年度の研究成果は凸多角形の双対体積の不等式ともいえる。得られた成果の学術的価値を判定するために、関係する研究の資料を購入し、関係する研究成果の概要を把握した。国際研究集会を開催し、関係する研究者との情報交換・意見交換も行った。

今年，我们评估了 p 平方欧几里得距离与欧几里得平面上凸多边形的定义函数的卷积。通常，欧几里得距离的 p-n 幂与 n 维欧几里得空间中的有界开集 K 的定义函数的卷积称为 K 的 p-n 幂矩。当 p 为正时，K 的 p-n 幂矩收敛，并且是 n 维欧几里得空间上的函数。今年，我们致力于评估凸多边形的 p 平方矩的最大值（当 p 小于 2 时）和最小值（当 p 大于 2 时）。今年研究的重点是确定图形的形状。换句话说，给定欧几里得平面上的两个凸多边形，我们希望通过比较它们的 p 平方矩值来确定它们是否全等。先前的研究包括通过对 P 上的平面上的凸多边形 P 的 p 平方矩进行积分来确定 P 的形状的问题。今年研究的动机是用最大值（当p小于2时）或最小值（当p大于2时）代替以往研究中的积分的问题是否成立。今年，定理“给定面积的正凸多边形的 p 平方矩的最大值（当 p 小于 2 时）和最小值（当 p 大于 2 时）是严格单调的，相对于顶点的数量，命题``给定周长的正凸多边形的p平方矩的最大值（当p小于2时）和最小值（当p大于2时）是正凸多边形的顶点就对象的数量而言，它不一定是单调的。凸多边形的 p 平方矩等于凸多边形的 p 次对偶体积，除了常数因子的差异。从这个意义上来说，今年的研究成果可以说是凸多边形的对偶体积不等式。为了判断所获得成果的学术价值，我们购买了相关研究资料并获得了相关研究成果的概况。召开了国际研究会议，与相关研究人员交换信息和意见。