計算代数手法に基づく正標数の代数曲線に関する研究の深化と暗号応用への展望

基于计算代数方法的正特征代数曲线深化研究及密码学应用展望

• 批准号: 20K14301
• 负责人: 工藤 桃成
• 金额: $ 2.33万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2020
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2020-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K14301/
• 关键词: 超特異曲線; 超特別曲線; 計算代数幾何学; 自己同型群; アーベル多様体; 同種写像; 正則微分形式; グレブナー基底; 代数曲線; 計算代数; 暗号応用; 超特異アーベル多様体

正標数の代数幾何学における主要な課題の一つである，与えられた不変量をもつ正標数の体上の曲線が存在するか否かの決定，および存在する場合は数え上げや各曲線の構造決定について，主に研究に取り組んだ．また，これらの課題の解決に必須となる，計算代数幾何学のアルゴリズム群を整備した．2022年度の主な結果は以下の四つである．[1] 原下秀士氏（横浜国立大学），大橋亮氏（横浜国立大学）との共同研究において，自己同型群がKlein四元群を含むような種数4超特別hyperelliptic曲線の高速生成アルゴリズムを開発し，計算機上の実行によって従来研究よりも非常に大きな標数（7,000程度）に対し数え上げの結果を得ることができた．この結果は査読付き国際会議WAIFI2022に発表が受理された．[2] 中川輔氏（東京大学），高木剛氏（東京大学）との共同研究で，自己同型群が位数6巡回群を含む種数4超特別hyperelliptic曲線の高速数え上げアルゴリズムを開発した．この結果は査読付き国際会議CASC2022に発表が受理された．[3] 守谷共起氏（東京大学）との共同研究で，アーベル多様体間の分解Richelot同種写像を計算するアルゴリズムを開発し，その応用として種数3の場合に超特別曲線を高速に列挙するアルゴリズムを構成した．この結果はプレプリントにまとめarXivに公開済みであり，現在雑誌投稿中である．[4] 原下氏と共同で，特異点を持つ平面曲線の特異点解消を求めるアルゴリズム，およびその得られた非特異曲線の正則微分形式のなす空間を計算するアルゴリズムを開発した．この結果はプレプリントにまとめarXivに公開済みである．これらの他にも，有限体上の連立代数方程式系の高速求解アルゴリズムや，外積代数におけるグレブナー基底の高速計算に関する結果が得られており，それぞれ論文にまとめ雑誌投稿中である．

正特征代数几何的主要问题之一是判断正特征域上是否存在给定不变量的曲线，如果存在，如何对每条曲线进行计数和计算，我主要研究其结构。的测定.我们还开发了一套对于解决这些问题至关重要的计算代数几何算法。 2022年的主要结果有以下四项。 [1] 在与Hideshi Harashita（横滨国立大学）和Ryo Ohashi（横滨国立大学）的联合研究中，我们开发了一种自同构群包括克莱因四元数群的属4超特殊超椭圆曲线的快速生成算法。在计算机上，我们能够获得比以前的研究更大的特征（大约 7,000）的计数结果。该结果被同行评审的国际会议 WAIFI2022 接受并发表。 [2] 在与Suke Nakakawa先生（东京大学）和Tsuyoshi Takagi先生（东京大学）的联合研究中，我们开发了一种自同构群包括6阶循环群的属4超特殊超椭圆曲线的快速枚举算法。该结果被同行评审的国际会议 CASC2022 接受并发表。 [3] 在与Koki Moriya先生（东京大学）的联合研究中，我们开发了一种算法来计算阿贝尔簇之间的分解Richelot齐次性映射，并且作为该算法的应用，我们快速枚举了属情况下的超特殊曲线3. 我们构建了一个算法来做到这一点。研究结果已编译成预印本并在 arXiv 上发布，目前正在提交给一家杂志。 [4] 我与Harashita先生合作，开发了一种求解具有奇点的平面曲线奇点的算法，以及计算所获得的非奇异曲线的全纯微分形式所形成的空间的算法。结果已编译成预印本并发布在 arXiv 上。除此之外，我们还获得了有限域上联立代数方程组的快速求解算法和叉积代数中Gröbner基的快速计算的成果，并将这些成果汇编成论文并提交给期刊。

项目成果

超特異曲線・超特別曲線の明示的構成と関連する計算問題について

超奇异曲线和超特殊曲线的显式构造及相关计算问题

• 发表时间: 2020
• 作者: 工藤 桃成

Implementation report on computing Groebner bases over exterior algebras

外代数计算 Groebner 基的实施报告

• 发表时间: 2022
• 作者: Kosuke Sakata; Momonari Kudo; Taku Kato; Kazuhiro Yokoyama
• 通讯作者: Kazuhiro Yokoyama

種数5の非超楕円曲線を定義する方程式の明示的構成とその応用

定义属5非超椭圆曲线方程的显式构造及其应用

• 发表时间: 2021
• 作者: 工藤桃成;原下秀士
• 通讯作者: 原下秀士

Counting isomorphism classes of superspecial curves

计算超特殊曲线的同构类

• 发表时间: 2022
• 作者: Momonari Kudo

Computational search and enumeration of superspecial curves with extra automorphisms

具有额外自同构的超特殊曲线的计算搜索和枚举

• 发表时间: 2022
• 作者: 工藤桃成