Analysis on singularities of higher order geometric gradient flows

高阶几何梯度流的奇点分析

基本信息

批准号：
21H00990
负责人：
岡部真也
金额：
$ 7.74万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21H00990/
关键词：
幾何学的発展方程式特異形状解析変分法偏微分方程式論

项目摘要

本年度は種々のSobolev勾配流の時間大域可解性およびその漸近挙動、ならびにその収束先となる定常解構造を調べることに繋がる、種々の変分問題について研究を実施した。Sobolev勾配流の研究については、H2弾性流、束縛条件付きH2弾性流、knot汎函数と弾性エネルギーの和に対するH2勾配流、面積保存型H1曲線短縮流など、複数の問題について議論を開始し並行して研究を実施した。ここで、H2弾性流とは、曲率の二乗積分で与えられる弾性エネルギーに対する、Hilbert空間H2の意味での勾配流のことである。H2弾性流については、時間大域可解性を証明するとともに、elasticaとよばれる平衡状態への完全収束を証明することに成功した。特に、ここで示した完全収束においては各時刻における径数変換や曲線の位置ベクトルの平行移動といった補助を必要としない。これはH2弾性流における解析の中で使用する空間の完備性が大きく寄与した結果であり、本結果は、汎函数に適合した空間の意味で勾配流を構成することの利点を明示することに成功したと言える。この結果は論文として纏め、現在、学術誌に投稿中である。また、その他の研究課題についても研究を進めているところである。加えて、Gross-Pitaevskii固有値問題の解に完全収束するSobolev勾配流の構成や、曲線拡散流に対する移動境界問題などについても研究に向けた議論を開始した。一方、変分問題に関する研究については、関連する問題として、外力項付きの平均場方程式に対する分岐解析を実施した。非線形項が指数型非線形項も含む設定のもとで、問題の解の存在に関して分岐パラメータの閾値が存在することを証明した。現在は分岐パラメータがその閾値の場合に、実際に解が分岐することについて研究に取り組んでいる。

今年，我们对各种变分问题进行了研究，从而研究了各种 Sobolev 梯度流的时间全局可解性、它们的渐近行为以及作为其收敛目标的稳态解结构。关于Sobolev梯度流的研究，我们开始了对H2弹性流、约束H2弹性流、结泛能与弹性能之和的H2梯度流、面积守恒H1曲线缩短流等多个问题的研究。执行。这里，H2弹性流是希尔伯特空间H2中关于由曲率平方积分给出的弹性能的梯度流。关于H2弹性流，我们成功证明了其时间全局可解性并完全收敛到称为elastica的平衡状态。特别是，这里所示的完全收敛不需要每次直径转换或曲线位置矢量的平行移动等辅助。这个结果很大程度上是由于H2弹性流分析中使用的空间的完整性，这个结果清楚地表明了在与泛函兼容的空间意义上配置梯度流的优势。成功。研究结果已被汇编成一篇论文，目前正在提交给一家学术期刊。我们目前还在进行其他研究课题的研究。此外，我们还开始讨论构建完全收敛于 Gross-Pitaevskii 特征值问题解的 Sobolev 梯度流，以及弯曲扩散流的移动边界问题。另一方面，对于变分问题的研究，我们对带有外力项的平均场方程作为相关问题进行了分岔分析。我们证明了在非线性项包括指数非线性项的情况下，关于问题解的存在性，分岔参数存在一个阈值。目前，我们正在研究当分支参数处于该阈值时，解决方案是否真的分支。

项目成果

期刊论文数量（9）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

University of Wollongong/The University of Western Australia/Murdoch University(オーストラリア)

卧龙岗大学/西澳大利亚大学/莫道克大学（澳大利亚）

DOI：
发表时间：
期刊：
影响因子：
0
作者：
通讯作者：

Variational analysis of self-intersecting elastic curves

自相交弹性曲线的变分分析

DOI：
发表时间：
2021
期刊：
影响因子：
0
作者：
Kashiwabara Takahito;Kemmochi Tomoya;Ken Abe;山田光隆，佐藤寛之;三浦達哉
通讯作者：
三浦達哉

Geometric inequalities involving mean curvature for closed surfaces

涉及闭合曲面平均曲率的几何不等式

DOI：
10.1007/s00029-021-00696-5
发表时间：
2021
期刊：
Selecta Mathematica
影响因子：
0
作者：
Masahiro Ikeda;Tomoyuki Tanaka and Kyohei Wakasa;Miura Tatsuya
通讯作者：
Miura Tatsuya

不連続Galerkin時間離散化手法による離散勾配法の高精度化

利用间断伽辽金时间离散法提高离散梯度法的精度

DOI：
发表时间：
2021
期刊：
影响因子：
0
作者：
Y. Satake;M. Oozawa;T. Sogabe;Y. Miyatake;T. Kemmochi;S.-L. Zhang;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉;Tomoya Kemmochi;Tomoya Kemmochi;剱持智哉;剱持智哉;剱持智哉
通讯作者：
剱持智哉

Singular Neumann oundary problems for a class of fully nonlinear parabolic equations

一类全非线性抛物型方程的奇异诺依曼边界问题