無限次元最適化とその近似による新しい計算科学の探究

通过无限维优化及其逼近探索新的计算科学

基本信息

批准号：
20K21786
负责人：
松尾宇泰
金额：
$ 4.08万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-07-30 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K21786/
关键词：
数値解析最適化

项目摘要

本計画研究は，不確かなモデルのからむ計算科学的研究において，従前は有限次元空間におけるモデル推定（データ同化）を考えていたところ，むしろ無限次元空間におけるモデル推定（すなわち無限次元空間における最適化に基づくモデル同定）だと考えることで，より柔軟で素直な計算科学体系が表出する可能性を探究するものである．昨年度までに，最適化手法と数値解析学の関係についての調査・検討を行った結果，特に最適化手法におけるステップ幅と数値解析学における線形安定性解析の関係について統一的な理解を得た．この理解に基づき，例えばL平滑な凸関数に対する最急降下法の収束十分条件が，数値解析学における陽的Euler法の安定性条件から簡単に導けることを指摘し，さらにこの視点から，数値解析学的に自然に期待される，硬安定な数値解法がより効率的な最適化手法を導きうることを実際の数値実験を含めて実証した．L平滑の定数が大域的に非常に大きな目的関数に対しては，この種の数値解析学的に自然な算法の方が遙かに効率が良いことを確認した．今年度は，前年度までに発見していた硬安定な数値解法から得られる最適化手法について，従来の直線探索に替わる「曲線探索」手法を導入し，それにより効率の良い解法が得られることを確認した．これにより，無限次元系である偏微分方程式由来の最適化問題が効率よく解けることを数値的に確認した．また，これまで個別論的に行われていた最適化手法収束性解析が，数値解析学ではよく知られている「離散勾配」を拡張した「弱離散勾配」の概念により，統一的に記述できることを発見した．

在涉及不确定模型的计算科学研究中，本次计划的研究之前考虑的是有限维空间中的模型估计（数据同化），而是侧重于无限维空间中的模型估计（即无限维空间中的优化）。作为基于计算机科学的模型识别，我们探索创建更灵活和直接的计算科学系统的可能性。到去年，我们对优化方法与数值分析之间的关系进行了研究和思考，对优化方法中的步长与数值分析中的线性稳定性分析之间的关系有了统一的认识。基于这种理解，我们指出，例如，L-光滑凸函数的最速下降法的充分收敛条件可以很容易地从我们在数值分析中证明的显式欧拉方法的稳定性条件中导出，包括实际的。数值实验表明，刚性且稳定的数值求解方法自然可以带来更有效的优化方法。我们已经证实，这种类型的数值自然算法对于 L 平滑常数全局非常大的目标函数要有效得多。本财年，我们将引入“曲线搜索”方法来取代传统的直线搜索，作为从上一年发现的刚性稳定的数值解法中获得的优化方法，并旨在获得有效的解法I。证实了这一点。通过这一点，我们在数值上证实了可以有效地解决由无限维系统偏微分方程导出的优化问题。此外，过去单独进行的优化方法的收敛分析，现在可以使用“弱离散梯度”的概念来统一描述，这是“离散梯度”的扩展，这是我在数值分析中众所周知的。