無限次元最適化とその近似による新しい計算科学の探究

通过无限维优化及其逼近探索新的计算科学

基本信息

批准号：
20K21786
负责人：
松尾宇泰
金额：
$ 4.08万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-07-30 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20K21786/
关键词：
数値解析最適化

项目摘要

本計画研究は，不確かなモデルのからむ計算科学的研究において，従前は有限次元空間におけるモデル推定（データ同化）を考えていたところ，むしろ無限次元空間におけるモデル推定（すなわち無限次元空間における最適化に基づくモデル同定）だと考えることで，より柔軟で素直な計算科学体系が表出する可能性を探究するものである．昨年度までに，最適化手法と数値解析学の関係についての調査・検討を行った結果，特に最適化手法におけるステップ幅と数値解析学における線形安定性解析の関係について統一的な理解を得た．この理解に基づき，例えばL平滑な凸関数に対する最急降下法の収束十分条件が，数値解析学における陽的Euler法の安定性条件から簡単に導けることを指摘し，さらにこの視点から，数値解析学的に自然に期待される，硬安定な数値解法がより効率的な最適化手法を導きうることを実際の数値実験を含めて実証した．L平滑の定数が大域的に非常に大きな目的関数に対しては，この種の数値解析学的に自然な算法の方が遙かに効率が良いことを確認した．今年度は，前年度までに発見していた硬安定な数値解法から得られる最適化手法について，従来の直線探索に替わる「曲線探索」手法を導入し，それにより効率の良い解法が得られることを確認した．これにより，無限次元系である偏微分方程式由来の最適化問題が効率よく解けることを数値的に確認した．また，これまで個別論的に行われていた最適化手法収束性解析が，数値解析学ではよく知られている「離散勾配」を拡張した「弱離散勾配」の概念により，統一的に記述できることを発見した．

该项目研究探讨了可以通过以前考虑有限维空间中的模型估计（数据同化）来表达更灵活，更直接的计算科学系统的可能性，而是将其视为无限维空间中的模型估计（即基于Infinite二维空间中优化的模型识别）。直到去年，我们研究并研究了优化方法与数值分析之间的关系，并在数值分析中对步骤宽度之间的关系有了统一的了解。基于这种理解，我们指出，最陡峭的下降方法的收敛足够，例如，L平滑凸功能可以轻松地从数值分析中显式Euler方法的稳定性条件中得出，并且从这个角度来看，从这个角度来看，我们证明了较难的数值分析，从而自然而然地构成了数值分析，从而自然而然地分析了这些方法，这些方法是自然而然的。我们已经确认，这种类型的自然计算方法对于L平滑在全球范围非常大的目标函数中更有效。今年，我们介绍了“曲线搜索”方法，该方法取代了传统的线性搜索，以从我们在上一年发现的硬稳定数值解决方案获得的优化方法，并确认可以获得有效的解决方案。在数值上已经证实，可以有效地求解从无限维度系统的部分微分方程得出的优化问题。我们还发现，以前是通过优化理论进行单独进行的收敛分析，可以通过统一的方式来描述弱离散梯度的概念，该梯度扩展到“离散梯度”，这在数值分析中是广为人知的。