Noncommutative algebraic geometry

非交换代数几何

基本信息

批准号：
19KK0348
负责人：
大川新之介
金额：
$ 7.57万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (A))
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021 至 2023
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19KK0348/
关键词：
非可換代数幾何学ワイル群 3次曲面導来圏

项目摘要

昨年度に引き続き、ある種の非可換3次元射影空間に含まれる3次曲面を非可換射影平面の6点爆発として実現するという問題について研究を行った。結論から述べると、細部の検証は今後の課題として、この問題を実質的に解決することができた。当初の目論見では、変形理論を用いて3次曲面の上に然るべき交叉関係を持った6本の直線が存在することを証明し、それらに対して既存の収縮定理を適用することで問題を解決するという方針であった。しかし、この方法では一般の3次曲面しか扱えない、収縮定理を使うための条件(曲面の非特異性)を確認できない、という問題があった。また、「どの6点爆発がどの非可換3次元射影空間に含まれるか」という情報までは得られないという欠点があった。今年度最も画期的だったのは、これらを一挙に解決する、より良い視点に気付いたことであった。具体的には、非可換6点爆発のモジュライから非可換3次元射影空間のモジュライへの「埋め込み先を取る」という(有理)射を同定することができれば、上記の問題が一挙に解決するという事実に気付いたことであった。そして、その同定に成功した。具体的には、モジュライの間の有理射がE6型ワイル群の作用による商と(具体的な)重み付き射影空間の間の射影を合成したものに一致するというのが結論である。この射は昨年度にこの話の古典極限に相当するPoisson幾何の問題を解決した際に登場していたものである。要するに、結局、非可換の場合も全く同じ有理射になるというのが結論であった。主結果の証明の途中で、(非可換)3次曲面上の直線のモノドロミーを調べる必要が生じた。ここで得られた結論の系として、特異なものも含めて、3次曲面上の直線の本数を記述することもできた。また、本課題によってベルギーに長期滞在をしている間に、非可換代数幾何学に関するその他幾つかの結果も得られた。詳細は基課題の報告に譲る。

继去年之后，我们针对将某类非交换三维射影空间中包含的立方曲面实现为非交换射影平面的六点爆炸的问题进行了研究。总之，我们能够实质性地解决这个问题，详细的验证留待以后的工作。最初的计划是利用变形理论证明立方体表面上存在六条具有适当相交关系的直线，并通过将现有的收缩定理应用于它们来解决该问题。但该方法存在的问题是只能处理一般的立方曲面，无法确认使用收缩定理的条件（曲面的非奇异性）。另一个缺点是不可能获得关于哪个六点爆炸包含在哪个非交换三维投影空间中的信息。今年最具革命性的事情是实现了一个可以一次性解决所有这些问题的更好的视角。具体来说，如果我们能够识别一个（有理）态射，将非交换 6 点爆炸的模“嵌入”到非交换 3D 射影空间的模，我意识到上述问题将立即得到解决。事实就是如此。他们成功地识别了它。具体来说，结论是模之间的有理态射对应于由于 E6 型 Weyl 群的作用和（具体）加权投影空间之间的投影而产生的商的合成。去年，当我解决泊松几何中的一个问题时，这种态射就出现了，该问题对应于这个故事的经典极限。简而言之，结论是非交换情况具有完全相同的有理态射。在证明主要结果的过程中，有必要研究（非交换）立方面上直线的单调性。作为这里获得的结论系统，我们还能够描述立方体表面上的直线数量，包括奇异直线。此外，在比利时的长期逗留期间，我获得了一些关于非交换代数几何的其他结果。我将把细节留给关于基本问题的报告。