幾何学的視点からの固有値計算法の開発

从几何角度发展特征值计算方法

基本信息

批准号：
21K03361
负责人：
豊永憲治
金额：
$ 1.91万
依托单位：
Toyohashi University of Technology (2022)Kitakyushu National College of Technology (2021)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では、代数的な行列の固有方程式の解である固有値と、幾何的なグラフ構造の間の関連性について研究を行い、幾何学的な構造から代数的な固有値の計算に対する新しい知見を導くことを目的としている。また、グラフスペクトル理論を情報工学分野への応用を模索することを目的としている。従来の精度保証付きによる固有値計算では、扱うシステムが多重固有値をもつ場合は、扱う行列が非正則になり、固有値の多重度が大きい場合、従来の不動点定理などを使った方法では、コンピュータを使っても狭い区間の中に固有値の存在を保証できない場合が存在した。一般に、行列のサイズが大きくなり、固有値の多重度が増すと、固有値を包み込む区間の幅は次第に大きくなっていくが、グラフスペクトル理論における視点を用い、グラフの特別な頂点を除くことで、行列のサイズを小さくし、複数の連結成分に分割することで、多重度が大きい固有値に対しても、精度よく固有値の包み込みができる例が存在することが一般のグラフについても確認できた。ある頂点を除いたときに、そのグラフに対応する行列において、着目している固有値の多重度が１つ上がる頂点Parter vertexを除くことで、多重固有値を包み込める場合が存在することがわかった。しかし、精度保証付き数値計算の実行速度の面からみると、他の手法と比べてみると、非常に遅いという問題点があることがわかったため、この方法を進展させるには、計算過程の効率化が今後の課題となることがわかった。もう一つの課題であるグラフスペクトル理論の応用として、グラフを使ったステガノグラフィへの応用を試みた。情報をある媒体に埋め込んで通信する手法をステガノグラフィというが、グラフ構造に含まれる辺を追加・削除することで、鍵となる複数の区間に含まれる固有値の数の偶奇を操作し、それによりビット値を変化させて情報を送る手法を新しく考案した。

在这项研究中，我们研究特征值（代数矩阵特征值方程的解）与几何图结构之间的关系，并从几何结构中导出关于代数特征值计算的新知识。它还旨在探索图谱理论在信息工程领域的应用。在传统的精度保证的特征值计算中，如果要处理的系统有多个特征值，则要处理的矩阵变得不规则，并且如果特征值的重数很大，使用不动点定理等的常规方法甚至在使用时，存在无法保证狭窄区间内特征值存在的情况。一般来说，随着矩阵大小的增加和特征值重数的增加，包围特征值的区间宽度逐渐增加，对于一般图也证实了存在特征值可以的例子。通过减小图的大小并将其划分为多个连接的组件，即使对于具有高重数的特征值也可以准确地包装。人们发现，在某些情况下，可以通过删除某个顶点来包裹多个特征值，当删除某个顶点时，该顶点会使图对应的矩阵中感兴趣的特征值的重数增加一。然而，在保证精度的数值计算的执行速度方面，发现与其他方法相比，执行速度极其缓慢，兼容性将是未来的问题。作为图谱理论的另一个应用，我们尝试将其应用于使用图的隐写术。隐写术是一种通过将信息嵌入到某种介质中来传达信息的方法。通过添加或删除图结构中包含的边，可以操纵多个关键区间包含的特征值数量的偶数或奇数，从而增加我们设计了一种通过改变值来发送信息的新方法。