Asymptotic analysis of vanishing diffusion in dynamic boundary conditions

动态边界条件下消失扩散的渐近分析

基本信息

批准号：
21K03309
负责人：
深尾武史
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kyoto University of Education
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

動的境界条件下でのCahn-Hilliard方程式には境界条件の入り方によって複数のモデルがある。特に2011年に提唱されたGoldstein-Miranville-Schimpernaモデルや2019年に提唱されたLiu-Wuモデルを対象として、境界上の拡散および単調項の係数に対してゼロ極限移行による前方後方拡散方程式への接近を考察した。一般に前方後方拡散方程式は非適切な問題としてよく知られているが、動的境界条件では境界条件に時間微分が入り、境界上でも内部と同種の偏微分方程式が考察できる。そのため、内部の方程式が前方拡散である場合に、境界上で一見すると非適切に見える前方後方拡散方程式が適切となることが確認された。まず、Goldstein-Miranville-Schimpernaモデルにおいて粘性消滅の議論を行った。境界拡散項の消失によって、解の正則性が失われるが、境界方程式の弱い意味での解釈によって弱解の存在が証明された。また、連続依存性や極限操作に関する誤差評価を得た。次に、内部と境界の単調項に増大条件の仮定を追加で課すことによって、前述の解の弱い意味が改善され、変分不等式として特徴付けられている式が方程式として解釈できる改良定理を得た。次に、Liu-Wuモデルに対しても同様の課題に取り組み、同様の各種定理を得た。前述のモデルと比べLiu-Wuモデルでは境界方程式から法線方向微分の項が独立して斉次Neumann境界条件となるため、前方後方拡散方程式と解釈するのに、より明瞭な方程式となった。

动态边界条件下的 Cahn-Hilliard 方程有多种模型，具体取决于边界条件的输入方式。特别是，对于2011年提出的Goldstein-Miranville-Schimperna模型和2019年提出的Liu-Wu模型，通过边界扩散的零极限转变将前向-后向扩散方程转换为前向-后向扩散方程，单调项的系数。一般来说，前向-后向扩散方程众所周知是一个不恰当的问题，但在动态边界条件下，时间微分包含在边界条件中，并且可以在边界上考虑与在内部相同的偏微分方程。因此，可以确认，当内部方程为前向扩散时，乍一看不合适的边界上的前向-后向扩散方程变得合适。首先，我们讨论了 Goldstein-Miranville-Schimperna 模型中的粘性消光。虽然由于边界扩散项的消失而失去了解的正则性，但通过对边界方程进行弱意义上的解释，证明了弱解的存在。我们还获得了有关连续性依赖和极限运算的误差评估。接下来，通过对内部和边界单调项施加增加条件的附加假设，我们得到了一个改进的定理，该定理改进了上述解的弱意义，并允许将表征为变分不等式的表达式解释为方程Ta。接下来，我们针对Liu-Wu模型解决了类似的问题，得到了各种类似的定理。与上述模型相比，在 Liu-Wu 模型中，边界方程的法向微分项变得独立，并成为齐次诺伊曼边界条件，使得方程更容易解释为前向-后向扩散方程。