非圧縮性流体方程式の解の性質に関する調和解析学の応用

调和分析在不可压缩流体方程解的性质中的应用

基本信息

批准号：
21K03323
负责人：
谷内靖
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Shinshu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03323/
关键词：
非線形偏微分方程式 Navier‐Stokes方程式流体方程式 Navier-Stokes方程式

项目摘要

令和４年度も水や油などの粘性のある縮まない流体(非圧縮性粘性流体)の運動を記述する非圧縮性Navier‐Stokes方程式の解の一意性に関して、関数解析学的手法および調和解析的手法を用いて研究を行った。ここで、非圧縮性Navier‐Stokes方程式とは、流体の速度場u(x,t)と圧力場p(x,t)を未知関数とする連立の非線型偏微分方程式系である。具体的には、外部領域などの非有界領域における非圧縮性Navier‐Stokes方程式の定常解や時間周期解、時間概周期的な解(almost periodic‐in‐time solution)のような時刻マイナス無限大から続く解の一意性に関して研究を行なった。私は、数年前に、時間周期解のようなprecompactな値域を持つ解に関して、外力が十分小さい場合は、解のクラスに小ささを仮定しなくても一意性が成り立つことを証明した(正確には同じデータに対し、precompactな値域を持つ2つの解が存在したと仮定し、一方にのみ小ささを仮定すれば、もう一方の解には小ささを仮定しなくても、両者は一致することを示した。)　さらに、令和3年度には値域のprecompact性を仮定しない場合の一意性を考察し、解が空間変数に関して3乗可積分な場合は、小ささを仮定しない方の解のr(r<3)乗可積分性)を仮定すれば、同様の一意性が成り立つことを証明した。しかし、3乗可積分性の条件は外部領域の場合は非常に強い条件であり、外部問題には適用できない。そこで、令和４年度は、３乗可積分な関数の空間であるL^3の代わりに、L^3よりも真に広い空間である弱L^3空間を用いて、解がこの弱L^3空間に属するという仮定のもとで、同様の一意性定理を証明した。

2020年，我们将继续研究关于描述水和油等粘性、不可收缩流体（不可压缩粘性流体）运动的不可压缩纳维-斯托克斯方程解的唯一性的泛函分析方法和调和分析。是使用传统方法进行的。这里，不可压缩纳维-斯托克斯方程是联立非线性偏微分方程组，其中流体速度场 u(x,t) 和压力场 p(x,t) 是未知函数。具体来说，不可压缩纳维-斯托克斯方程在无界域（例如外域）和时间负无穷大中的平稳解、时间周期解和几乎时间周期解，我们对以下解的唯一性进行了研究。。几年前，我证明了对于具有预紧范围的解，例如时间周期解，如果外力足够小，就可以在不假设解类很小的情况下实现唯一性（准确地说，假设有两个对于相同数据具有预压缩范围的解决方案，如果只有一个被假设为小，则另一个() 此外，在 2021 年，我们考虑了不假设值域预紧性时的唯一性，并且解在空间上当变量是立方可积时，我们证明了如果我们假设 r (r<3)- ，类似的唯一性成立不假设较小的解的幂可积性。然而，三次可积条件在外部域的情况下是一个非常强的条件，并且不能应用于外部问题。因此，在2020年，我们将使用弱L^3空间，而不是L^3（立方可积函数的空间），这是一个真正比L^3更宽的空间，解决方案将是这样弱L^3空间。我们在假设它属于^3空间的情况下证明了类似的唯一性定理。