Studies on stability of solitary waves for nonlinear dispersive wave equations

非线性色散波动方程孤波稳定性研究

基本信息

批准号：
21K03315
负责人：
太田雅人
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Tokyo University of Science
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

研究の目的は、非線形シュレディンガー方程式や非線形クライン・ゴルドン方程式など非線形分散波動方程式の孤立波解の安定性に関する研究を推進することである。特に、パラメータによって孤立波解の安定性と不安定性が変わる臨界的な状況を考察し、非線形分散波動方程式の孤立波解のまわりの解の大域挙動の解明を目指している。 2022年度は2021年度に引き続き、空間1次元において引力的なデルタ関数ポテンシャルと5次の非線形相互作用および斥力的な3次の非線形相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性について考察した。空間1次元において5次の非線形項は質量 (L^2) の意味で臨界的である。劣臨界的な摂動項である引力的なデルタ関数ポテンシャルと斥力的な3次の非線形項を導入することにより、この臨界的状況は壊れるが、両者が釣り合ったとき、別の新たな臨界的状況が生じる。質量 (L^2ノルム) が臨界質量よりも真に小さい場合、考察している方程式の定在波解はすべて安定であると予想されるが、このことを中西賢次教授（京都大学数理解析研究所）との共同研究により、簡潔な変分的方法を用いた統一的な証明を与え、論文にまとめた。また、質量 (L^2ノルム) が臨界質量よりも真に大きい場合は、考察している方程式の定在波解はすべて不安定であると予想されるが、これまでは振動数がある値よりも大きい場合に対してしかこのことを証明することができなかった。この問題に対しても、定在波の新しい変分的特徴付けを導入することにより、すべての振動数に対して不安定性を証明することができた。臨界質量をもつ定在波解の不安定性については今後の研究課題である。

本研究的目的是推动非线性薛定谔方程、非线性克莱因-戈登方程等非线性色散波动方程孤立波解稳定性的研究。特别是，我们考虑孤立波解的稳定性和不稳定性根据参数而变化的临界情况，并旨在阐明非线性色散波方程孤立波解周围解的全局行为。 2022年，继2021年之后，我们将研究一维空间中具有吸引δ函数势、五阶非线性相互作用和排斥三阶非线性相互作用的非线性薛定谔方程的驻波解的稳定性。在一维空间中，五阶非线性项在质量（L^2）意义上至关重要。通过引入亚临界扰动项、吸引的δ函数势和排斥的三阶非线性项，这种临界情况被打破，但当两者平衡时，会产生另一种新的临界情况。如果质量（L^2范数）确实小于临界质量，则所考虑的方程的所有驻波解预计都是稳定的，但这得到了 Kenji Nakanishi 教授（京都大学数学分析研究系）的证实通过与东京大学的联合研究，我们使用简单的变分方法提供了统一的证明，并总结在论文中。另外，如果质量（L^2范数）确实大于临界质量，那么我们正在考虑的方程的所有驻波解都将是不稳定的，但到目前为止我只能证明这一点案例大于 .对于这个问题，通过引入驻波的新变分特征，我们能够证明所有频率的不稳定性。具有临界质量的驻波解的不稳定性是未来研究的主题。