Sharp bound of the spectral gap for particle systems

粒子系统光谱间隙的锐界

基本信息

批准号：
21K03267
负责人：
永幡幸生
金额：
$ 1.5万
依托单位：
Niigata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の主目的であるzero-range process のスペクトルギャップの研究に関して、既存研究の拡張に関して、制約はつくものの、満足のできる結果を得ることができた。より詳しく述べると、以下のようなものである。既存研究である Landim-Sethurman-Varadhan らによる研究では「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」「1点関数のスペクトルギャップの評価」「漸化式の構成およびその一般項の評価」に分割できるが、「1点関数のスペクトルギャップの評価」に関しては１年目に期待される良い結果を得られている。２年目である本年度は「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」を研究したが、そもそも既存研究においては、期待される（得られる）スペクトルギャップは粒子数密度には依存しない。それに対して本研究で取り扱うものは期待されるスペクトルギャップが粒子数密度に依存する。マルチンゲール法を適用するにあたって、ヘルダー型の関数不等式を適用する必要があるが、既存研究においては粒子数密度に依存しないため、ヘルダー型の関数不等式を適用すれば、期待する結果を得られていたのに対して、粒子数密度に依存する場合にヘルダー型の不等式を適用すると、期待する結果を得ることができない。これに対して本研究ではヘルダー型の不等式を使わずに、モデルの特性を活用して評価をすることにより、マルチンゲール法を適用可能になり、その結果「漸化式の構成およびその一般項の評価」もクリアすることができ、粒子数密度に依存したスペクトルギャップの評価をすることが可能になった。ただしモデルの特性を活用するため、制約条件が必要となる。

对于本研究的主要目的——零程过程中的谱隙研究，我们取得了满意的结果，尽管现有研究的扩展存在一些局限性。更具体而言，如下所述。 Landim-Sethurman-Varadhan 等人的现有研究可分为“Lu-Yau 的 Martingale 方法的应用”、“单点函数的谱间隙的评估”和“构造然而，对于“单点函数的谱间隙的评估”，第一年就获得了预期的良好结果。今年，即我的第二年，我研究了“陆丘鞅法的应用”，但在现有的研究中，预期（获得的）谱间隙并不取决于粒子数密度。相反，本研究中处理的情况下的预期光谱间隙取决于粒子数密度。在应用鞅法时，需要应用Hölder型泛函不等式，但在现有的研究中，它不依赖于粒子数密度，因此应用Hölder型泛函不等式并没有得到预期的结果。另一方面，如果我们应用依赖于粒子数密度的Hölder型不等式，我们就无法得到预期的结果。另一方面，在本研究中，我们没有使用Herder型不等式，而是利用模型的特性进行评估，使得应用鞅法也可以明确谱间隙的评估。取决于粒子数密度。然而，为了利用模型的特性，需要约束。