Invariants of pseudo-Anosov homeomorphisms

伪阿诺索夫同胚的不变量

基本信息

批准号：
21K03259
负责人：
小島定吉
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究は，曲面の擬アノソフ写像類の数多くある不変量を比較することにより，曲面および3次元多様体の研究に貢献することが目的である.2次元と3次元を結びつけるルートとして，サーストンによる擬アノソフ写像類の写像トーラスには双曲構造が入るという事実がある.本研究の出発点は，以前にMcShane氏との共同研究で得られた，擬アノソフ写像類のエントロピーとその写像トーラスの双曲体積との間の明示的不等式である.アノソフ写像類のエントロピーは，タイヒミュラー空間のタイヒミュラー計量に関する移動距離と同一視できる.そこで当初は，タイヒミュラー空間上の，たとえばベイユ・ピーターソン計量などの各種の既存の距離に関する移動距離と，写像トーラスの体積等の幾何学的不変量との関係を模索した.一方昨年度正井秀俊(東京工業大学)が,移動距離が写像トーラスの体積に一致するようなタイヒミュラー空間上の距離を，擬フックス群の繰り込み体積とグロモフのホロ関数を使って定義した.さらに今年度，イタリアのベルトロッティとフリゲリオが任意の写像類に対し写像トーラスの単体体積に一致する充満体積を定式化し．写像類群上の長さ関数を定義した．彼らの長さ関数の値は擬アノソフ写像類に対しては正井の距離に関する移動距離と一致している．一方，正井の距離が上限ノルムを使って定義されるので，その写像類群上の長さ関数はイタリアグループの長さ関数とは異なると思われる．しかし，疎幾何の観点からはそれほどは違わないと思われ，現在は両者の関係の精細化と我々の研究との結びつきの検討を続けている.

本研究的目的是通过比较曲面的伪阿诺索夫映射类的许多不变量，为曲面和三维流形的研究做出贡献。作为连接二维和三维的途径，有一个事实是伪Anosov类的映射环面具有双曲结构。这项研究的起点是之前与McShane先生的合作。这是伪阿诺索夫图类的熵与其图环的双曲体积之间的显式不等式，是在联合研究中获得的。因此，最初，我们考虑了这一点。例如，我们探索了各种现有距离（例如 Beille-Peterson 度量）的行进距离与几何不变量（例如映射环面的体积）之间的关系。另一方面，去年 Hidetoshi Masai（东京工业大学）的Teichmuller 空间中对应于映射环面体积的距离被定义为伪 Fuchs 群它是使用格罗莫夫全息函数的重正化体积来定义的。此外，今年，意大利的贝尔托洛蒂和弗里杰里奥制定了一个填充体积，该填充体积对应于任何映射类的映射环面的单纯形体积。我们在映射类组上定义了一个长度函数。它们的长度函数的值与伪阿诺索夫类的马赛距离的行进距离一致。另一方面，由于马赛距离是使用上范数定义的，因此其在映射类组上的长度函数预计与意大利组的长度函数不同。不过，从稀疏几何的角度来看，似乎并没有太大的区别，目前我们正在继续细化两者之间的关系，并考虑与我们研究的联系。