On sums of arithmetic functions involving gcd-sum functions

关于涉及 gcd-sum 函数的算术函数之和

基本信息

批准号：
21K03205
负责人：
木内功
金额：
$ 2万
依托单位：
Yamaguchi University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03205/
关键词：
gcd和関数数論的関数 squarefull numbers cube-full numbers

项目摘要

GCD和関数(最大公約数を変数とする2変数関数の和関数をいう)を含む総和公式について、初等整数論の立場から考察する方法と解析的理論の立場から考察する方法がある。本研究ではこれらを融合することで、様々な数論的関数の性質を解明することにある。しかしながら、今年度の研究実績は、解析的な方法を利用して得られた結果となった。以下詳細に述べる。１．Anderson-Apostol和はRamanujan和の一般化であり、様々な分野で用いられている。本研究では、squarefull numbersを用いた2変数の2重和としてAnderson-Apostol和を定義して、2重和の部分和公式を解析学の方法とRiemannゼータ関数の解析的性質を利用して求めたものであり、昨年度の研究結果の一部改良を与えている。２．昨年度の求めたsquarefull numbersに関する方法をcube-full numbersに適用したものであるが、まったく同様にはできず、解析的方法を駆使しながら求めた。３．mn<xを満たすZm*Znの部分群の個数に関する和公式は, Sui-Liuによって最近、考察されている。ここでは、重み関数として対数関数を利用した和公式を求めた。このことで、彼らの結果の予想の確からしさを示した。さらに、Riemannゼータ関数の零点との密接な関係を示すまでには到達していないが、来年度を見据えて具体的に表記することを目指す。

从初等数论的角度和从解析论的角度考虑包括GCD求和函数（变量为最大公约数的二变量函数的求和函数）在内的求和公式有两种方法。本研究的目的是通过结合这些方法来阐明各种数论函数的性质。然而，今年的研究结果是通过分析方法获得的。这将在下面详细解释。 1. Anderson-Apostol 和是 Ramanujan 和的推广，并应用于各个领域。在本研究中，我们将Anderson-Apostol 和定义为使用平方数的两个变量的二重和，并利用解析方法和黎曼zeta 函数的解析性质找到二重和的部分和公式，这是一个部分改进。去年的研究成果。 2.把去年得到的满方数的方法应用到满方数上，但不能完全一样，所以用解析的方法来求。 3. Sui-Liu 最近考虑了满足 mn<x 的 Zm*Zn 子群数的求和公式。在这里，我们找到了一个使用对数函数作为加权函数的求和公式。这证明了他们预测的可靠性。此外，虽然我们还没有达到展示与黎曼 zeta 函数零点的密切关系的程度，但我们的目标是着眼于明年详细地表达它。