Orbits on flag varieties and their combinatorics

旗形品种的轨道及其组合

基本信息

批准号：
21K03184
负责人：
西山享
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Aoyama Gakuin University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本課題では旗多様体やその直積である多重旗多様体 X への群作用が主要な研究対象である．研究目標は，旗多様体への群作用の基本的な性質を明らかにし，それを用いた組合せ論や幾何学，そして表現論へ応用することである．ここで言う「基本的な性質」とは群作用による軌道の不変量を用いた分類，そして，それらの不変量を元にした軌道の次元や閉包関係，同変（コ）ホモロジー環の構造などの多岐にわたる性質を指す．とくに不変式論との関係，組合せ論との互恵的な関係を重視している．最終的目標は実リー群の表現や量子群の表現論への発展的な応用であるが，こちらは将来の課題である．今年度の成果として，共同研究者の L.Fresse (Univ. Lorraine, IECL) と共に，AIII 型対称空間に付隨する二重旗多様体 X = K/B_K x G/P 上の球部分群 K による軌道のグラフを用いた組合せ論的記述，軌道の次元や閉包関係，ヘッケ加群の構造などが完全に明らかになったことが挙げられる．また，2種類の Steinberg 写像とシュプリンガーファイバーの構造もヤング盤を用いた組合せ論的な記述によって明らかになった．一方で，この結果は AIII 型の特殊な状況をうまく使っており，他の型に拡張するのは難しい．そこで，Fresse 教授とともに，(1) 他の古典型の二重旗多様体を AIII 型に埋め込むことによって，既に得られた結果を応用することを研究中である．(2) ルート系やワイル群などの一般的な概念を用いた軌道の記述ができないかと模索中である．(3) 本間大幹氏（九州大学）による箙の表現を用いた軌道の分類理論が発表され，箙による軌道の不変量などの研究を進めている．こちらは，本研究課題期間中になんらかの形で発表したいと考えている．

该项目的主要研究对象是旗流形及其直接乘积多旗流形 X 上的群作用。我的研究目标是阐明标志品种的群体行为的基本属性，并将其应用于组合学、几何学和表示论。这里所说的“基本性质”包括利用群作用引起的轨道不变量的分类、基于这些不变量的轨道维数、闭包关系、等变（共）同调环的结构等。指的是各种各样的性质。特别强调与不变理论的关系以及与组合学的互利关系。最终目标是进一步将其应用于实李群的表示和量子群的表示论，但这是未来的话题。今年，我们与我的合作研究员 L.Fresse（洛林大学，IECL）一起开发了双旗流形上的球形子群 K X = K/B_K x G/P，连接到 AIII型对称空间。使用轨迹图的组合描述、轨迹的维数和闭合关系以及赫克模块的结构已经完全阐明。此外，通过使用杨盘的组合描述，阐明了两种类型的斯坦伯格图和施普林格纤维的结构。另一方面，这个结果很好地利用了AIII型的特殊情况，很难推广到其他类型。因此，我们正在与Fresse教授一起研究（1）将其他经典双旗流形嵌入到AIII型中已经获得的成果的应用。 (2)我们正在探索使用根系和Weyl群等一般概念来描述轨迹的可能性。（3）Daiki Honma先生（九州大学）发表了利用箭袋表示的轨迹分类理论，并正在利用箭袋进行轨迹不变量的研究。我们希望在本研究项目期间以某种形式呈现这一点。