現象解析のツールとしての精度保証付き計算法の開発

开发一种保证精度的计算方法作为现象分析的工具

基本信息

批准号：
21K03348
负责人：
山本野人
金额：
$ 2.5万
依托单位：
The University of Electro-Communications
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

2022年度は、保存量を持つ常微分方程式系に関して、主として２つの観点からの研究を進めた。一つは簡易的な構造保存型とも言える射影法をベースとした手法である。保存量を伴う系の数値計算は、軌道計算におけるドリフトが生じやすいことが知られている。精度保証付き数値計算では、このことは区間幅の急激な拡大を引き起こす。通常の数値計算では、これを避けるために構造保存型数値計算をはじめとするいくつかの手法が存在する。射影法はそのうちでも簡便なもので、保存量を与える関数の勾配を計算し、これを次ステップの解計算に援用する。これを精度保証法として展開すると、Lohner法の計算プロセスの中で計算される区間を保存量の勾配に合わせて回転し、特定の方向を細分割して保持している保存量を含まない小区間を排除する方法を採ることになる。この観点から、ドリフトが起こりやすい例題を用いて研究を進め、排除の方法に関するいくつかの知見を得た。さらにこの方法を微分代数方程式に適用し、限定された状況ながら精度保証付き計算を行うことに成功している。微分代数方程式への精度保証法の適用は、申請者の知る限り最初のものである。二つめは、位相空間における平衡点近傍の球面上で保存量をサーチすることで、解の挙動を解析する方法の研究である。球面上での保存量の最大値・最小値は、解軌道がその点で球面に接していることを意味している。さらに微分方程式右辺のベクトル値関数（flow）からの情報を組み合わせると、当該の解軌道が球内に閉じ込めれられている、もしくは、球内に入り込むことがないことを示し得る場合がある。このような情報を数値的手法として整えて提案し、非線形シュレディンガー方程式の解析に応用した例を示した。この方法は学術雑誌の招待論文として投稿し、掲載されている。

在2022年，我们从两个主要角度对具有保守量的普通微分方程系统进行了研究。一种是一种基于投影方法的方法，可以说是一种简单的结构传播方法。众所周知，具有保守量的系统的数值计算很容易在轨道计算中漂移。在保证准确性的数值计算中，这会导致间隔宽度的迅速增加。在普通的数值计算中，有几种避免这种情况的方法，包括具有结构的数值计算。投影方法是最简单的方法之一，可以计算出赋予保守量的函数的梯度，并使用它来计算下一步的解决方案。如果我们将其作为确保准确性的方法开发，我们将采用一种在Lohner方法计算过程中旋转计算的间隔的方法，以匹配存储量的梯度，并将特定方向分析以消除不包含所持存储量的子插图。从这个角度来看，研究的研究是使用容易漂流的示例进行的，并就消除方法获得了一些见解。此外，该方法已应用于差异代数方程，并已成功实施以确保准确的计算，尽管情况有限。将精度保证方法应用于差异代数方程式是申请人知识的首次。第二个是研究一种方法，用于通过在拓扑空间中的平衡点附近的球形表面上寻找保守的量来分析解决方案的行为。在球形表面上存储的量的最大值和最小值意味着溶液轨迹与球形表面接触。此外，结合微分方程右侧的向量值函数（流）的信息可能表明所讨论的解决方案轨迹仅限于球体或不进入球体。该信息是作为数值方法提出的，用于分析非线性Schrödinger方程。该方法已在学术期刊上提交并发表为被邀请的论文。