Research on stabilization effect and qualitative properties of standing waves for variational problems with nonlocal interactions

非局域相互作用变分问题驻波镇定效应及定性研究

基本信息

批准号：
21K03317
负责人：
渡辺達也
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Kyoto Sangyo University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03317/
关键词：
非線形解析変分問題楕円型偏微分方程式安定性解析

项目摘要

本研究では、非線形シュレディンガー方程式における非局所的相互作用による定在波解の安定化に着目して、定在波の存在に関する閾値や定性的性質等を解析する。今年度の具体的な研究実績は次の通りである。静岡大学の足達慎二氏と慶應義塾大学の生駒典久氏共に、ソボレフ優臨界であることを許す非線形項を持つ半線形シュレディンガー方程式を考察して、変分法を用いて正値解の存在を示した。この研究結果は、学術雑誌「Manuscripta　Mathematica」に掲載が決定している。本研究で用いたアプリオリ評価やレベル集合の解析手法は、他の微分方程式の研究にも応用できると期待している。特に、非局所項方程式において、ある種の近似を行うと準線形方程式が得られることが知られているが、準線形項の制御に本研究で用いたアプリオリ評価を応用できると考えている。他には、ボルドー大学のMathieu Colin氏と共に、2次元シュレディンガー・マックスウェル方程式の定常問題や非線形光学で現れる他の微分方程式系における定在波解の安定性に関する研究を行った。また、マドリード・カルロス第3大学のPablo Alvarez-Caudevilla氏と共同で、4階非線形シュレディンガー方程式系の基底状態解の存在や分類に関する研究を行った。これらの研究内容については、現在論文を執筆中である。さらに、カリフォルニア州立大学のHichem Hajaiej氏と分数べきシュレディンガー方程式の定常問題に関する共同研究を開始した。

在本研究中，我们重点研究非线性薛定谔方程中非局域相互作用对驻波解的稳定性，并分析与驻波存在相关的阈值和定性特性。今年的具体研究成果如下。静冈大学的 Shinji Adachi 和庆应义塾大学的生驹纪久考虑了具有非线性项的半线性薛定谔方程，使其成为 Sobolev 超临界，并使用变分法证明了正解的存在性。这项研究的结果将发表在学术期刊Manuscripta Mathematica上。我们期望本研究中使用的先验评估和水平集分析方法可以应用于其他微分方程的研究。特别是，众所周知，可以通过对非局部项方程进行某些近似来获得拟线性方程，并且我们相信本研究中使用的先验评估可以应用于控制拟线性项。此外，他与波尔多大学的Mathieu Colin合作，研究了二维薛定谔-麦克斯韦方程和非线性光学中出现的其他微分方程组的驻波解的稳定性。此外，我们与马德里卡洛斯三世大学的Pablo Alvarez-Caudevilla合作，对四阶非线性薛定谔方程组基态解的存在性和分类进行了研究。我目前正在写一篇关于这些研究主题的论文。此外，我们还与加州州立大学的Hichem Hajaiej先生开始了分数次幂薛定谔方程平稳问题的联合研究。