Exact WKB analysis for differential equations satisfied by oscillatory integrals

振荡积分满足的微分方程的精确 WKB 分析

基本信息

批准号：
21K03300
负责人：
廣瀬三平
金额：
$ 2.16万
依托单位：
Shibaura Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

１）ADE型特異点を持つ多項式の普遍変形である多項式を相函数とする振動積分の満たす微分方程式のWKB解はStokes集合以外の点においてBorel総和可能であるという結果が2021年度に得られていたが、2022年度はこの結果を原点に孤立臨界点を持つ重み付き斉次多項式を適切に変形した多項式を相函数とする場合に一般化することができた。さらに、証明における議論から、このWKB解のresurgence性についても明らかになった。２）(1,4)型の2変数超幾何系などのような相函数に対数函数を含む振動積分の満たす微分方程式のWKB解のBorel総和可能性について考察を行った。１）の証明の方針で同様の結果を得るためには微分方程式だけでなく、差分方程式を合わせて考えることが重要であることが明らかになった。３）以上の結果の証明より、振動積分は（適切に正規化した）WKB解のBorel和と一致することが明らかになる。一方、原始形式の理論で用いられている高次留数形式は、振動積分を用いた表示が与えられている。振動積分とWKB解の対応を考えることにより、高次留数形式のWKB解を用いた表示を得ることができた。さらに、振動積分を解に持つとは限らない微分方程式にも高次留数形式の類似物を定義することができた。４）完全WKB解析において重要な対象であるStokes集合を主題とした著書の執筆を進めた。このことに関連して微分方程式の周期とStokes集合の退化についての考察を行った。特に二重変わり点から得られる周期の場合について調べた。

1) 2021年得到的结果是，满足以多项式为相位函数的振荡积分的微分方程的WKB解，是具有ADE型奇点的多项式的通用变换，可以在点上进行Borel求和然而，在 2022 年，我们能够将这一结果推广到使用通过对原点处具有孤立临界点的加权齐次多项式进行适当变换而获得的多项式作为相关函数的情况。此外，证明中的讨论揭示了这种 WKB 解决方案的复兴。 2）我们考虑了满足相关函数中包括对数函数的振荡积分的微分方程WKB解的Borel求和的可能性，例如（1,4）类型的二变量超几何系统。为了使用 1) 的证明策略获得类似的结果，很明显，不仅考虑微分方程，而且考虑差分方程也很重要。 3) 从上述结果的证明可以看出，振动积分与（适当归一化的）WKB 解的 Borel 和一致。另一方面，本原形式理论中使用的高阶留数形式是使用振动积分给出的表示。通过考虑振动积分和 WKB 解之间的对应关系，我们能够使用 WKB 解以高阶留数形式获得表示。此外，我们能够以高阶留数形式定义不一定以振动积分作为解的微分方程的类似物。 4) 撰写了一本关于 Stokes 集的书，Stokes 集是完整 WKB 分析中的一个重要主题。与此相关，我们考虑了微分方程的周期和斯托克斯集的简并性。特别是，我们研究了从双转折点获得的周期的情况。