Study on the double variational principle for mean dimension of dynamical systems

动力系统平均维数的双变分原理研究

• 批准号: 21K03227
• 负责人: 塚本 真輝
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Kyoto University (2022)Kyushu University (2021)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03227/
• 关键词: 力学系; エルゴード理論; 幾何学的測度論; 平均次元; エントロピー; 情報理論

２０２２年度には，大まかには三つの成果が得られた．以下順番に説明する．（１）平均次元に関する基本的な問題として，「古典次元論で知られていたフレヴィッツの定理という主張の類似が平均次元に対して成立するか？」というものがあった．この問題は１０年以上前に私自身が提案したものである．今年度，この問題を完全に解決することができた．答えは「一般にはフレヴィッツの定理の類似は平均次元に対して不成立だが，ベースの力学系がゼロ平均次元なら，成立する」というものであった．この成果はすでに論文にまとめて，学術誌に投稿中である．（２）本研究課題は平均次元に対する変分原理の発展に関するものであるが，その重要な側面として，幾何学的測度論のアイデアを平均次元理論と融合するというものがある．その方向性の研究として，古典的なフラクタル幾何学で知られている定理の平均次元理論版を構成するという研究を行った．例えば，フルステンベルグによる円周内の等質フラクタルに関する定理の平均次元理論版を証明した．この研究についても，すでに論文にまとめて，学術誌に投稿中である．（３）上記の（１）の研究によってフレヴィッツの定理の類似が平均次元に対して，そのままでは成立しないことが分かった．この状況は興味深いことではあるが，一方で大きな困難を感じさせるものでもある．そこで，困難を克服するために，「ウエスト不等式」という新しい視点からこの問題に取り組んだ．グロモフやクラ―タッグによって発展させられてきたウエスト不等式の理論を平均次元理論に応用した．これよって，リンデンシュトラウスとヴァイスによって証明された有名な定理を本質的に改良する成果を得た．この成果も論文にまとめて，学術誌に投稿中である．

2022财年取得了三项主要成果。下面按顺序进行说明。 (1) 关于平均维数的一个基本问题是：“从经典维数理论中得知的弗鲁维茨定理的断言的类比是否适用于平均维数？”这个问题是我十多年前提出的。今年，我们彻底解决了这个问题。答案是：“一般来说，弗鲁维茨定理的类比对于平均维数不成立，但如果基础动力系统的平均维数为零，则它确实成立。”这些结果已经被汇编成一篇论文，并正在提交给学术期刊。 (2)本研究课题涉及平均维数变分原理的发展，其中一个重要方面是几何测度论与平均维数理论思想的融合。作为这个方向的研究，我们进行了研究以构建经典分形几何中已知定理的平均维理论版本。例如，他证明了弗斯滕伯格关于圆内齐次分形定理的平均维理论版本。这项研究已经总结在一篇论文中，并正在提交给学术期刊。 (3)通过上述(1)的研究，发现Frewitz定理的类比对于平均维数并不成立。这种情况虽然有趣，但也带来了很大的困难。因此，为了克服这个困难，我们从一个新的角度来解决这个问题，称为“腰部不平等”。格罗莫夫和克拉塔格发展的西方不平等理论被应用于平均维数理论。这个结果本质上改进了 Lindenstrauss 和 Weiss 证明的著名定理。这些结果也已被汇编成一篇论文，并正在提交给学术期刊。

项目成果

New approach to weighted topological entropy and pressure

• DOI: 10.1017/etds.2021.173
• 发表时间: 2021-08
• 期刊: Ergodic Theory and Dynamical Systems
• 影响因子: 0.9
• 作者: M. Tsukamoto

いくつかの無限次元フラクタルの平均ハウスドルフ次元

一些无限维分形的平均豪斯多夫维数

• 发表时间: 2022
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;新田泰文;塚本真輝
• 通讯作者: 塚本真輝

平均次元入門

平均尺寸简介

• 发表时间: 2022
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;新田泰文;塚本真輝;菊田伸;塚本 真輝
• 通讯作者: 塚本 真輝

Sorbonne University(フランス)

索邦大学（法国）

Introduction to mean dimension

平均维度简介

• 发表时间: 2023
• 作者: 新田泰文;菊田伸;Masaki Tsukamoto
• 通讯作者: Masaki Tsukamoto