Study on the double variational principle for mean dimension of dynamical systems

动力系统平均维数的双变分原理研究

• 批准号: 21K03227
• 负责人: 塚本 真輝
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Kyoto University (2022)Kyushu University (2021)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03227/
• 关键词: 力学系; エルゴード理論; 幾何学的測度論; 平均次元; エントロピー; 情報理論

２０２２年度には，大まかには三つの成果が得られた．以下順番に説明する．（１）平均次元に関する基本的な問題として，「古典次元論で知られていたフレヴィッツの定理という主張の類似が平均次元に対して成立するか？」というものがあった．この問題は１０年以上前に私自身が提案したものである．今年度，この問題を完全に解決することができた．答えは「一般にはフレヴィッツの定理の類似は平均次元に対して不成立だが，ベースの力学系がゼロ平均次元なら，成立する」というものであった．この成果はすでに論文にまとめて，学術誌に投稿中である．（２）本研究課題は平均次元に対する変分原理の発展に関するものであるが，その重要な側面として，幾何学的測度論のアイデアを平均次元理論と融合するというものがある．その方向性の研究として，古典的なフラクタル幾何学で知られている定理の平均次元理論版を構成するという研究を行った．例えば，フルステンベルグによる円周内の等質フラクタルに関する定理の平均次元理論版を証明した．この研究についても，すでに論文にまとめて，学術誌に投稿中である．（３）上記の（１）の研究によってフレヴィッツの定理の類似が平均次元に対して，そのままでは成立しないことが分かった．この状況は興味深いことではあるが，一方で大きな困難を感じさせるものでもある．そこで，困難を克服するために，「ウエスト不等式」という新しい視点からこの問題に取り組んだ．グロモフやクラ―タッグによって発展させられてきたウエスト不等式の理論を平均次元理論に応用した．これよって，リンデンシュトラウスとヴァイスによって証明された有名な定理を本質的に改良する成果を得た．この成果も論文にまとめて，学術誌に投稿中である．

在2022年，三个大致取得了结果。以下将按顺序解释。 （1）关于平均维度的一个基本问题是：“在经典维度理论中已知的弗莱维茨定理的相似性是否存在平均维度？”这个问题是十年前我自己提出的。今年，我们能够完全解决这个问题。答案是：“通常，弗莱维茨定理的相似性不适合平均维度，但是如果基本机械系统是零均值的维度，则它将保持。”该结果已经被编译成论文，并已提交给学术期刊。 （2）该研究主题是关于平均维度的变分原理的发展，其一个重要方面是将几何措施的概念与平均维度理论相结合。为了研究这个方向，我们进行了一项研究，以构建经典分形几何形状已知定理的平均维度的理论版本。例如，我们证明了Frustenberg定理的均值定理版本在一个圆圈内。这项研究已经汇编成论文，目前正在提交给学术期刊。 （3）（1）中的上述研究表明，Flevitz定理中的相似性并不像平均维度那样。这种情况很有趣，但这也使它看起来很困难。因此，为了克服困难，我们从称为“西部不平等”的新角度解决了这个问题。 Gromov和Cratag开发的腰部不平等理论已应用于含义维度理论。这实际上是改善了Lindenstraus和Weiss证明的著名定理。该结果也已汇编成一篇论文，目前正在提交给学术期刊。

项目成果

New approach to weighted topological entropy and pressure

• DOI: 10.1017/etds.2021.173
• 发表时间: 2021-08
• 期刊: Ergodic Theory and Dynamical Systems
• 影响因子: 0.9
• 作者: M. Tsukamoto

いくつかの無限次元フラクタルの平均ハウスドルフ次元

一些无限维分形的平均豪斯多夫维数

• 发表时间: 2022
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;新田泰文;塚本真輝
• 通讯作者: 塚本真輝

平均次元入門

平均尺寸简介

• 发表时间: 2022
• 作者: Kawai Kotaro;Yamamoto Hikaru;新田泰文;塚本真輝;菊田伸;塚本 真輝
• 通讯作者: 塚本 真輝

Sorbonne University(フランス)

索邦大学（法国）

Introduction to mean dimension

平均维度简介

• 发表时间: 2023
• 作者: 新田泰文;菊田伸;Masaki Tsukamoto
• 通讯作者: Masaki Tsukamoto