Research on integrable geometry and submanifolds

可积几何与子流形研究

• 批准号: 21K03214
• 负责人: 宮岡 礼子
• 金额: $ 1.5万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K03214/
• 关键词: 等径超曲面; ガウス写像; フレア理論; ラグランジュ部分多様体; 極小曲面; 除外値問題; Chern予想; Dupin超曲面; 戸田方程式

可積分幾何に関して，球面S^{n+1}内の等径超曲面Nのガウス像Lの位相のフレアホモロジーの計算で未解決部分の解決を目指した．まずN自身のコホモロジーの計算を新たな手法「Nを焦部分多様体F上の球面束として捉え，Thom-Gysin完全列を適用する」により行い成功した.従来はNがS^{n+1}を二つの円板束に分解することを用いるMunznerによる計算があるが，新しい方法では外部空間S^{n+1}の性質を用いないので，より多くの空間における等径超曲面の位相の計算にも適用可能である.また，ガウス像Lの位相の計算という本来の目的にも適用して部分的に成功した.LはNを有限巡回群Z_gで割った構造をもち，gが素数であればある程度計算ができるが，ここではg=4,6が問題なので，幾何学的な構造を反映した計算が必要となる.特にg=4に現れるClifford代数の表現に随伴する等径超曲面は非等質な例を無限に含み，幾何学的にも大変興味深い対象である.この場合の構造をかなりの段階まで明らかにした.特別な場合はLのコホモロ ジーという最終目的まで計算ができ，さらに最終目的であるFloerコホモロジーの計算に繋げる可能性を得た.これらの研究は大阪公立大の大仁田義裕教授，茨城大の入江博准教授とともに，Zoom検討会で継続して議論してきたが，今後は対面検討で研究を加速する.極小曲面に関する課題として，2次元戸田方程式の周期解を用いた複素射影空間におけるラグランジュ極小曲面の研究，および代数的極小曲面のガウス写像の除外値問題がある.前者については徳島大の國川慶太氏と議論している.後者については名大の小林亮一教授と研究しているが Nevanlinna理論を円板上で構築するという非常に難解な議論になっているので，普遍被覆に上げない議論についても検討中である.新たな課題としては，極小超曲面に関するChern予想をDupin超曲面について検討し，目処を得ている．

对于可积几何，我们的目标是通过计算球面S^{n+1}中等距超曲面N的高斯图像L的相位的耀斑同调性来解决未解决的部分。首先，我们使用一种新方法“将 N 视为焦点子流形 F 上的球丛并应用 Thom-Gysin 完全序列”成功计算了 N 本身的上同调。通常，N 为 S^{n+1 }分成两个磁盘束。 Munzner有一个计算使用了它，但是新方法没有使用外部空间S^{n+1}的性质，因此可以应用于更多空间中等距超曲面拓扑的计算。图像 L 的相位称为它被应用到了它最初的目的，并取得了部分成功。 L 具有 N 除以有限循环群 Z_g 的结构，如果 g 是素数，则可以在某种程度上进行计算，但在这种情况下，g =4,6就是问题所在，因此需要反映几何结构的计算。特别是，在g=4处出现的伴随Clifford代数表达式的等距超曲面包含无数个非齐次例子，在几何上是一个非常有趣的对象。这种情况的结构在相当程度上已经被阐明。案例，L 的上同模我们能够计算出“G”的最终目标，并且有可能连接到计算Floer上同调的最终目标。这些研究是在Zoom研究小组中与大阪公立大学的Yoshihiro Onita教授和茨城大学的Hiroshi Irie副教授我们一直在继续讨论这个话题，但从现在开始，我们将通过面对面的讨论来加速我们的研究。与曲面相关的学科包括利用二维户田方程的周期解研究复射影空间中的拉格朗日极小曲面，以及代数极小曲面高斯图的排值问题。对于前者，德岛大学的Keita Kunikawa先生我目前正在与名古屋大学的 Ryoichi Kobayashi 教授讨论后者。由于讨论在圆盘上构建 Nevanlinna 理论非常困难，我们也在考虑不将其提升为通用覆盖的可能性。作为新的挑战，我们正在考虑将关于最小超曲面的陈省身猜想转换为 Dupin 超曲面。正在考虑这个并且有前景。

项目成果

Various aspects of isoparametric hypersurfaces

等参超曲面的各个方面

• 发表时间: 2022
• 作者: Endo Naoki;Goto Shiro;Isobe Ryotaro;Motoo Tange;吉田健一，奥間智弘，渡辺 敬一;田中真紀子;Reiko Miyaoka
• 通讯作者: Reiko Miyaoka

Review of my research

我的研究回顾

• 发表时间: 2023
• 作者: E. Naoki;S. Goto;Reiko Miyaoka
• 通讯作者: Reiko Miyaoka

第6回中国-日本幾何学研究集会

第六届中日几何研究会议

• 发表时间: 2021

Moment maps and isoparametric hypersurfaces of OT-FKM type

OT-FKM 类型的力矩图和等参超曲面

• DOI: 10.1007/s11425-020-1746-2
• 发表时间: 2021
• 期刊: Science China Mathematics
• 作者: Makiko Sumi Tanaka;Hiroyuki Tasaki and Osami Yasukura;Reiko Miyaoka
• 通讯作者: Reiko Miyaoka

等径超曲面のガウス像のラグランジュ交叉理論へのアプローチ

等距超曲面高斯像拉格朗日交叉理论的探讨

• 发表时间: 2021
• 作者: N. Endo;S. Goto;S.-i. Iai;N. Matsuoka;田崎博之;宮岡礼子
• 通讯作者: 宮岡礼子