Study on local functional equations form representation theory and geometry

局部函数方程形式表示论与几何的研究

基本信息

批准号：
21K03169
负责人：
小木曽岳義
金额：
$ 2.5万
依托单位：
Josai University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

局所関数等式を満たす多項式のペアを見つけることは整数論、表現論双方の分野で重要である。正則概均質ベクトル空間の非退化な相対不変多項式とその双対の概均質ベクトル空間の、同じ有理指標に対応する相対不変多項式のペアは局所関数等式を満たすことが佐藤幹夫氏、多変数の場合は佐藤文広氏により見つけられている。そのため, 今までの研究で,まだ明示的に概均質ベクトル空間の相対不変の形が分かっていないものについて,その明示的な構成を行うなどの研究を続けて来た. 具体的には,佐藤幹夫氏と木村達雄氏によって既約正則概均質ベクトル空間が分類され, その相対不変式が一部を除いて構成されていたが, その残りのうち40次元のカスピダル型のholonomy図形が最も複雑な空間の相対不変を明示的に写像の合成によって構成した.一方、2008年に佐藤文広氏と報告者(小木曽)の共同研究で、Clifford代数の表現から構成した4次形式Clifford Quartic formsは非概均質的多項式であるにも関わらず局所関数等式を満たすことが示されていて、Clifford Quartic formに付随する空間も分類されている.上記のことから局所関数等式を満たす多項式を概均質,非概均質を含む形で特徴付ける必要があり,それに向けての研究を多角形の双曲幾何, クラスター代数と関係する三角形分割についてそれをグラフと見た場合の3次多項式の研究を当初していたが, 途中から研究に中島秀斗氏が加わり, 中島秀斗氏のアイデアで, 多角形の三角形分割をさらに一般化した「三角形配置」に付随する3次多項式の概均質性の研究をおこない, 研究成果を論文arXiv:2210.10467にまとめた.

找到满足局部函数相等的多项式对在数论和表示论中都很重要。 Fumihiro Sato 证明了全纯近似齐次向量空间中的一对非简并相对不变多项式和其对偶近似齐次向量空间中对应于相同有理指数的相对不变多项式满足局部函数等式。。为此，我们继续进行研究，以明确构造近似齐次向量空间的相对不变形式，而我们尚未明确知道近似齐次向量空间的相对不变形式。 Tatsuo Kimura 对不可约正则近似齐次向量空间进行了分类，并构造了它们的相对不变量，但有一些例外。在剩下的40维尖型完整图形中，最复杂空间的相对不变性是通过映射的组合来明确构建的。另一方面，在2008年佐藤文宏先生和记者的联合研究中（ Ogiso），已经证明，由 Clifford 代数表达式构造的 Clifford 四次形式满足局部函数等式，即使它们是非近似齐次多项式。与形式相关的空间也被分类。综上所述，需要以包括近似齐次和非近似齐次形式的形式来表征满足局部函数等式的多项式，对此的研究主要集中在双曲几何上多边形，我最初是在研究三阶多项式，将其视为与簇代数相关的三角剖分图，但在研究中途，中岛英人加入了研究，并根据中岛英人的想法，我们对与“三角形排列”（多边形三角剖分的更广义版本）相关的三阶多项式的近似齐次性进行了研究，并在论文 arXiv:2210.10467 中总结了我们的研究结果。