完全非線形微分積分方程式における粘性解の正則性

全非线性微分和积分方程中粘性解的正则性

基本信息

批准号：
21J10020
负责人：
北野修平
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-28 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では完全非線形積分方程式の正則性理論の研究を実施した。特に、昨年度に引き続き弱いスケール条件という積分核についての特異性の仮定のもと基礎理論の構築を行った。とりわけ興味深いと思われるのはヘルダー評価が成り立ってもハルナック不等式は成り立つとは限らない点であり。ハルナック不等式の反例は様々な先行研究で既に構成されていたが、いずれも積分核に異方性があるものであった。一方本研究では、積分核が等方的であり、変数に依存する場合にHarnack不等式の反例を構成している。この例は変数階分数冪ラプラシアンと呼ばれる作用素を使って構成している。今まで正則性理論や熱核評価など盛んに研究されてきた代表的な作用素であり、ハルナック不等式の反例を構成した意義は大きいと考えている。本年度はさらに不連続係数や非有界項を持つ完全非線形積分方程式の正則性を解析するための新しい手法の開発を試みた。足掛かりとして先ず完全非線形2階偏微分方程式における十分に小さい積分指数に対する2階導関数のLp評価の導出を行った。先行研究のリンやカファレリによる手法では、関数がプッチ方程式の劣解かつ優解である必要があったが、本研究では関数が劣解であるという仮定のみを使ってLp評価を導いた。この結果の応用として凸な完全非線形方程式の４階導関数のLp評価を導いた。今後の展望として完全非線形積分方程式への拡張やより一般的な可積分指数へ評価の一般化を試みたい。

在这项研究中，我们对完美非线性积分方程的规律性理论进行了研究。特别是，我们从去年的会计年度继续，基于对整体核的奇异性的假设来构建基本理论，这是弱尺度条件。特别有趣的是，即使Helder评估成立，Harunack的不平等也不一定会存在。 Harunack不平等的反例已经是由以前的各种研究构成的，但是所有这些都在整体核中都有各向异性。另一方面，在这项研究中，当整体核是各向同性的，取决于变量时，我们构成了Harnack不平等的反例。此示例是使用称为变量分数laplacian的运算符构建的。到目前为止，它是一家代表性操作员，已经进行了积极研究，包括规律性理论和热核评估，我认为作为Harunack不平等的反例，这具有重要意义。今年，我们还试图开发一种新方法，以分析具有不连续系数和无界项的完美非线性积分方程的规律性。作为垫脚石，我们首先在完全非线性的二阶偏微分方程中对二阶导数的LP评估进行了LP评估。在使用Lin和Caffarelli的先前研究方法中，该函数必须是PUCCI方程的子和优越的解决方案，但是在这项研究中，仅使用该函数是子分析的假设来得出LP评级。作为此结果的应用，我们得出了凸出的凸出非线性方程的四阶导数的LP评估。作为未来的前景，我们想尝试将其扩展到完全非线性的积分方程，并将其评估推广到更通用的集成索引。