完全非線形微分積分方程式における粘性解の正則性

全非线性微分和积分方程中粘性解的正则性

基本信息

批准号：
21J10020
负责人：
北野修平
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-28 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では完全非線形積分方程式の正則性理論の研究を実施した。特に、昨年度に引き続き弱いスケール条件という積分核についての特異性の仮定のもと基礎理論の構築を行った。とりわけ興味深いと思われるのはヘルダー評価が成り立ってもハルナック不等式は成り立つとは限らない点であり。ハルナック不等式の反例は様々な先行研究で既に構成されていたが、いずれも積分核に異方性があるものであった。一方本研究では、積分核が等方的であり、変数に依存する場合にHarnack不等式の反例を構成している。この例は変数階分数冪ラプラシアンと呼ばれる作用素を使って構成している。今まで正則性理論や熱核評価など盛んに研究されてきた代表的な作用素であり、ハルナック不等式の反例を構成した意義は大きいと考えている。本年度はさらに不連続係数や非有界項を持つ完全非線形積分方程式の正則性を解析するための新しい手法の開発を試みた。足掛かりとして先ず完全非線形2階偏微分方程式における十分に小さい積分指数に対する2階導関数のLp評価の導出を行った。先行研究のリンやカファレリによる手法では、関数がプッチ方程式の劣解かつ優解である必要があったが、本研究では関数が劣解であるという仮定のみを使ってLp評価を導いた。この結果の応用として凸な完全非線形方程式の４階導関数のLp評価を導いた。今後の展望として完全非線形積分方程式への拡張やより一般的な可積分指数へ評価の一般化を試みたい。

在这项研究中，我们研究了完全非线性积分方程的正则理论。特别是，继去年之后，我们基于弱尺度条件积分核奇异性假设构建了基础理论。特别有趣的是，即使赫尔德评价成立，哈纳克不等式也不一定成立。哈纳克不等式的反例已经在之前的各种研究中构建，但它们都涉及积分核中的各向异性。另一方面，在本研究中，当积分核是各向同性且依赖于变量时，它构成了哈纳克不等式的反例。此示例是使用称为变阶分数幂拉普拉斯算子的运算符构建的。它是正则性理论和热核评估等领域中积极研究的代表性算子，我们认为它作为哈纳克不等式的反例具有重要意义。今年，我们还尝试开发一种新方法来分析具有不连续系数和无界项的完全非线性积分方程的正则性。第一步，我们首先导出完全非线性二阶偏微分方程中足够小的积分指数的二阶导数的 Lp 评估。在之前的研究中，Lin 和 Caffarelli 的方法要求函数既是 Pucci 方程的劣解又是优解，但在本研究中，Lp 评估仅使用函数是劣解的假设来推导。作为这一结果的应用，我们推导了凸完全非线性方程的四阶导数的 Lp 评估。作为未来的展望，我想尝试将该方法扩展到完全非线性积分方程，并将评估推广到更一般的可积指数。