Reconstruction Methods for inverse scattering problems including uncertainty

包括不确定性在内的逆散射问题的重建方法

• 批准号: 21J00119
• 负责人: 古屋 貴士
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: Hokkaido University (2022)Shimane University (2021)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-28 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21J00119/
• 关键词: 偏微分方程式; 逆問題; Calderon問題; Levenberg-Marquardt 法; Neumann-Dirichlet写像; 散乱逆問題; カルマンフィルタ

偏微分方程式の逆問題とは, 方程式の解の情報から方程式の係数関数を求める問題である. これは, 非破壊検査の探傷器, 医療診断のトモグラフィーなどの非観測物の可視化に関するテクノロジーへの発展が期待されている重要な数学的問題である.本研究では, 2次元有界領域上の非等方導電体方程式に対するCalderon問題(境界におけるNeumann-Dirichlet写像から非等方導電係数を求める偏微分方程式の逆問題)について考える. 非等方導電体方程式の逆問題は, 応用上に重要(例えば地下の岩盤や地層)であるにもかかわらず, 数学解析として複雑で, 等方導電体に比べて研究が少ない.本研究では, 導電係数が平行四辺形もしくは台形分割に関して区分的に定数非等方的(有界領域が平行四辺形もしくは台形分割され, その各四角形セル上で導電係数が定数対称行列)と仮定した場合, Neumann-Dirichlet 写像から確率1で Landweber 法や Levenberg-Marquardt 法などの反復法による導電係数が再構成可能であることを示した. 証明のアイデアとしては, 導電体方程式のグリーン関数の特異点を四角形分割された角に近づけることで起こる発散具合を解析することを行た. これは今までのCalderon問題において類を見ないアイデアである.上記の結果はNeumann-Dirichlet写像を与えた設定であり, これは, 無限個のデータを観測することに相当している. 一方で, 非等方導電係数関数を区分的に定数と仮定しているため有限次元空間に属しているため, 過剰な観測データを与えている設定である. より現実的な設定を考慮するためにも, 今後は有限回観測(有限個のCauchyデータ)から区分的に定数な非等方導電係数を求める設定の逆問題研究を行う予定である.

偏微分方程的反问题是根据方程解的信息计算方程的系数函数的问题，这是一个有望进一步发展的重要数学问题。让我们考虑二维有界区域上各向异性导体方程的卡尔德隆问题（偏微分方程的反演问题，根据边界处的诺依曼-狄利克雷图计算各向异性传导系数）。尽管它们在应用中很重要（例如地下岩石和地层），但它们的数学分析很复杂，并且比各向同性导体进行的研究较少。在这项研究中，如果我们假设电导系数相对于平行四边形或梯形划分是分段常数各向异性（有界区域分为平行四边形或梯形，电导系数是每个四边形单元上的常数对称矩阵），诺伊曼 - 我们证明了电导率系数可以使用迭代方法（例如 Landweber 方法或 Levenberg-Marquardt 方法）以概率 1 从 -Dirichlet 映射来重建。证明的思路如下。我们分析了通过使导体方程的格林函数的奇异性更接近四边形划分的角而发生的发散程度，这是迄今为止卡尔德隆问题中前所未有的想法。 -狄利克雷图，对应于观察无限数量的数据，另一方面，由于各向异性传导系数函数被假设为分段常数，因此它具有有限的维度，因为它属于空间。该设置提供了过多的观测数据。为了考虑更现实的设置，我们将使用从有限数量的观测值（有限数量的柯西数据）计算分段常数各向异性传导系数的设置，我们计划进行研究。逆问题。

项目成果

Local recovery of a piecewise constant anisotropic conductivity in EIT on domains with exposed corners

具有暴露角的域上 EIT 中分段恒定各向异性电导率的局部恢复

• DOI: 10.1088/1361-6420/acb008
• 发表时间: 2023
• 期刊: Inverse Problems
• 影响因子: 2.1
• 作者: de Hoop Maarten V;Furuya Takashi;Lin Ching-Lung;Nakamura Gen;Vashisth Manmohan
• 通讯作者: Vashisth Manmohan

Inverse medium scattering problems with Kalman filter techniques

• DOI: 10.1088/1361-6420/ac836f
• 发表时间: 2022-07
• 期刊: Inverse Problems
• 影响因子: 2.1
• 作者: T. Furuya;R. Potthast