Rational Points on Curves and Iterated p-adic Integrals

曲线上的有理点和迭代 p 进积分

基本信息

批准号：
1702196
负责人：
Jennifer Balakrishnan
金额：
$ 18.17万
依托单位：
Trustees of Boston University
依托单位国家：
美国
项目类别：
Standard Grant
财政年份：
2017
资助国家：
美国
起止时间：
2017-07-15 至 2021-06-30
项目状态：
已结题

来源：
https://www.nsf.gov/awardsearch/showAward?AWD_ID=1702196&HistoricalAwards=false
关键词：
Rational Points Curves Iterated adic

项目摘要

The modern study of rational points on curves has its origins in the mathematics of the ancient Greeks, who studied whole number solutions to polynomial equations. These equations can turn out to be tremendously tricky to solve, sometimes resisting efforts for centuries. A numerical invariant -- the genus -- of the curve can reveal quite a bit about the fundamental nature of its set of rational points. Indeed, in 1922, Mordell conjectured that the set of rational points on curves of genus at least 2 is finite. This was proved nearly 60 years later by Faltings. However, Faltings' proof does not explicitly construct the finite set of rational points for these curves. Producing a constructive, algorithmic version of Faltings' theorem remains a challenging open problem in number theory. The main aim of this project is to address this problem by giving new algorithms for explicitly finding rational points on certain higher genus curves via tools in iterated p-adic integration. The PI will combine theoretical machinery and explicit computational techniques to prove results conjectured by the nonabelian Chabauty program. Specifically, the PI will study methods situating the finite set of rational points in a slightly larger finite set of p-adic points coming from nonabelian Chabauty and will give practical algorithms for computing the p-adic functions cutting out these p-adic points. To facilitate this, the PI will use ideas from p-adic cohomology to produce fast algorithms for iterated p-adic integration.

现代对曲线上有理点的研究起源于古希腊人的数学，他们研究多项式方程的整数解。事实证明，这些方程求解起来非常棘手，有时甚至需要几个世纪的努力才能解决。曲线的数值不变量（即亏格）可以揭示其有理点集的基本性质。事实上，莫德尔在 1922 年推测，亏格曲线上至少有 2 个有理点的集合是有限的。近 60 年后，法尔廷斯证明了这一点。然而，法尔廷斯的证明没有明确构造这些曲线的有限有理点集。产生法尔廷斯定理的建设性算法版本仍然是数论中具有挑战性的开放问题。该项目的主要目的是通过提供新的算法来解决这个问题，通过迭代 p-adic 积分工具在某些更高的亏格曲线上显式地找到有理点。 PI 将结合理论机制和显式计算技术来证明非阿贝尔 Chabauty 程序推测的结果。具体来说，PI 将研究将有理点的有限集放置在来自非阿贝尔 Chabauty 的稍大的 p 进点有限集中的方法，并将给出用于计算切除这些 p 进点的 p 进函数的实用算法。为了实现这一点，PI 将使用 p-adic 上同调的思想来生成用于迭代 p-adic 积分的快速算法。

项目成果

期刊论文数量（11）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Quadratic Chabauty and Rational Points II: Generalised Height Functions on Selmer Varieties

二次 Chabauty 和有理点 II：Selmer 品种的广义高度函数

DOI：
10.1093/imrn/rnz362
发表时间：
2017-05-01
期刊：
International Mathematics Research Notices
影响因子：
1
作者：
Jennifer S. Balakrishnan;Netan Dogra
通讯作者：
Netan Dogra

Explicit Coleman integration for curves

曲线的显式科尔曼积分

DOI：
10.1090/mcom/3542
发表时间：
2020-01
期刊：
Mathematics of Computation
影响因子：
2
作者：
Balakrishnan, Jennifer S.;Tuitman, Jan
通讯作者：
Tuitman, Jan

An effective Chabauty–Kim theorem

有效的 Chabauty–Kim 定理

DOI：
10.1112/s0010437x19007243
发表时间：
2019-06
期刊：
Compositio Mathematica
影响因子：
1.8
作者：
Balakrishnan, Jennifer S.;Dogra, Netan
通讯作者：
Dogra, Netan

A non-abelian conjecture of Tate–Shafarevich type for hyperbolic curves

双曲曲线的Tate-Shafarevich型非阿贝尔猜想

DOI：
10.1007/s00208-018-1684-x
发表时间：
2018-10
期刊：
Mathematische Annalen
影响因子：
1.4
作者：
Balakrishnan, Jennifer S.;Dan;Kim, Minhyong;Wewers, Stefan
通讯作者：
Wewers, Stefan

Two Recent p-adic Approaches Towards the (Effective) Mordell Conjecture

针对（有效）莫德尔猜想的两种最新的 p-adic 方法

DOI：
10.1007/978-3-030-65203-6_2
发表时间：
2021-01
期刊：
Arithmetic L-Functions and Differential Geometric Methods.
影响因子：
0
作者：
Balakrishnan, J.S.;Best, A.J.;Bianchi, F.;Lawrence, B.;Müller, J.S.;Triantafillou, N.;Vonk, J.
通讯作者：
Vonk, J.