CAREER: Knot invariants, moduli spaces of sheaves and representation theory

职业:结不变量、滑轮模空间和表示论

基本信息

  • 批准号:
    1352398
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 42.12万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Continuing Grant
  • 财政年份:
    2014
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2014-09-01 至 2021-08-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

The subject of this project is the geometry of configuration spaces of collections of points inside varieties of small dimension, and more generally, the moduli spaces of sheaves on these varieties. The main objective is to reveal new and further explore previously known links between the moduli spaces and objects in other fields of mathematics, in particular Representation Theory and Lower Dimensional Topology. The PI will work toward a proof of the mathematical conjecture relating the topological invariants of the Hilbert scheme of points on plane singular curves and the HOMFLY knot homology of the links of the singularities of the curve (Hilb/HOMFLY formula). The conjecture also reveals unexpected symmetries of the homology of torus knots: conjecturally, they form an irreducible representation of the rational Cherednik algebra of type A. The PI will explore the generalized Hilb/HOMFLY conjecture that relates the representation theory of the symplectic reflection algebras and the rational Cherednik algebras of types other than A. Finally, the PI describes the cohomology ring of the compactified Jacobians of quasi-homogeneous singularities. The PI (jointly with Zhiwei Yum) conjectures a relation between the cohomology ring of the compactified Jacobian of the curve and the structure ring of the moduli space of the rational maps to the curve: a local variation of the Gromov-Witten/Donaldson-Thomas relation. The educational component of the project offers a new model for the UMass REU program. Knot invariants and topological invariants allow us to analyze the global structure of complicated shapes by collecting local information about the shape. Complicated shapes occur naturally in biology (e.g. proteins, DNA), theoretical physics (strings), and other areas of natural science. Thus developing new invariants and computational methods for understanding of the global structure of complex shapes is an important mathematical problem with many potential applications. The PI strives to understand the hidden symmetries of already discovered invariants, develop new invariants, and find unexpected applications of these invariants to other areas of mathematics. The PI will also involve undergraduate students in cutting edge research through a summer research program integrating mentorship by faculty and graduate students. The PI aims to attract more students from underrepresented groups to mathematical research by reserving specific spaces in the summer research program for students from two local women's colleges. The PI will prepare graduate student mentors during the year by teaching related graduate classes and a reading seminar. This new summer research program structure will increase diversity and strengthen vertical integration in academia and improve the communication and flow of ideas between different generations of present and future researchers.
该项目的主题是小尺寸品种内点集合的配置空间的几何形状,更一般地说,是这些品种上滑轮的模空间。主要目标是揭示并进一步探索其他数学领域中模空间和对象之间的新联系,特别是表示论和低维拓扑。 PI 将致力于证明与平面奇异曲线上点的希尔伯特方案的拓扑不变量和曲线奇点链接的 HOMFLY 结同源性相关的数学猜想(Hilb/HOMFLY 公式)。该猜想还揭示了环面结同源性的意外对称性:据推测,它们形成了 A 型有理 Cherednik 代数的不可约表示。PI 将探索广义 Hilb/HOMFLY 猜想,该猜想将辛反射代数的表示论与除 A 以外的类型的有理 Cherednik 代数。最后,PI 描述了紧致雅可比行列式的上同调环准齐次奇点。 PI(与Zhiwei Yum联合)猜想了曲线的紧化雅可比行列式的上同调环与有理映射到曲线的模空间的结构环之间的关系:Gromov-Witten/Donaldson-Thomas的局部变体关系。该项目的教育部分为麻省大学 REU 项目提供了一种新模式。 结不变量和拓扑不变量使我们能够通过收集有关形状的局部信息来分析复杂形状的全局结构。复杂的形状在生物学(例如蛋白质、DNA)、理论物理学(弦)和自然科学的其他领域中自然存在。因此,开发新的不变量和计算方法来理解复杂形状的全局结构是一个具有许多潜在应用的重要数学问题。 PI 致力于理解已发现的不变量的隐藏对称性,开发新的不变量,并发现这些不变量在其他数学领域的意想不到的应用。 PI 还将通过一个结合教师和研究生指导的夏季研究项目,让本科生参与前沿研究。 PI 旨在通过在暑期研究项目中为当地两所女子学院的学生保留特定空间,吸引更多来自弱势群体的学生参与数学研究。 PI 将在这一年中通过教授相关的研究生课程和阅读研讨会来准备研究生导师。这个新的夏季研究项目结构将增加学术界的多样性并加强垂直整合,并改善当前和未来不同代研究人员之间的沟通和思想流动。

项目成果

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