Mathematical Sciences: Singular Integrals and Fourier Integral Operators
数学科学:奇异积分和傅里叶积分算子
基本信息
- 批准号:9204196
- 负责人:
- 金额:$ 14.5万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Continuing Grant
- 财政年份:1992
- 资助国家:美国
- 起止时间:1992-05-01 至 1995-04-30
- 项目状态:已结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
This project seeks to analyze the mathematical theories of singular integral, Fourier integral and pseudodifferential operators. The theories developed over the past thirty years yielding a wide range of applications based on their simplicity and unity. Nevertheless, operators falling outside their scope are appearing with increased frequency in studies of Fourier-Airy operators of diffraction theory, maximal operators and Hilbert transforms along curves of differentiation theory, Hilbert integral operators and singular Radon transforms of subelliptic boundary value problems, oscillatory singular integrals on nilpotent groups, the X-ray transforms and Guillemin operators of integral geometry and deformation theory on manifolds of geodesics. Two unifying themes have emerged; they appear themselves to be related. The first consists of Fourier integral operators whose Lagrangian is not a local graph but projects on tangent spaces with folds or cusps. The second is where the densities on the Lagrangian have singularities. The main goal of this work is to arrive at a more complete theory of degenerate Fourier integral and singular integral operators. Strong evidence for the existence of such a framework is provided by recent progress in several directions: work will be done in exploring them further. First, efforts will be made to understand the stratification of the singular varieties of projections of degenerate operators on tangent spaces and how they influence Sobolev bounds. This will only treat operators with constant coefficients. Efforts at a formulation of the theory on manifolds, a new phenomenon - not present in the classical case - occurs. Work must be done in obtaining lower bounds for the oscillation of the phase function. Other goals involve finding extensions to operators defined in spaces of higher dimension and the measure of the level of stratification of the local geometry of the Lagrangian to yield sharp bounds for singular Radon transforms.
该项目旨在分析奇异积分、傅里叶积分和伪微分算子的数学理论。 这些理论在过去三十年中不断发展,因其简单性和统一性而产生了广泛的应用。 然而,在衍射理论的傅里叶-艾里算子、微分理论曲线上的极大算子和希尔伯特变换、希尔伯特积分算子和亚椭圆边值问题的奇异Radon变换、振荡奇异积分的研究中,超出其范围的算子越来越频繁地出现。幂零群、积分几何的 X 射线变换和 Guillemin 算子以及测地线流形上的变形理论。 两个统一的主题已经出现;他们本身似乎是相关的。 第一个由傅里叶积分算子组成,其拉格朗日不是局部图,而是投影在具有折叠或尖点的切线空间上。 第二个是拉格朗日密度有奇点的地方。 这项工作的主要目标是获得更完整的简并傅立叶积分和奇异积分算子理论。 最近在几个方向上取得的进展为这种框架的存在提供了强有力的证据:将开展进一步探索的工作。 首先,将努力理解简并算子在切空间上的奇异投影的分层以及它们如何影响索博列夫界限。 这只会处理具有常数系数的运算符。 在努力制定流形理论时,出现了一种在经典情况下不存在的新现象。 必须努力获得相位函数振荡的下限。 其他目标包括寻找在更高维度空间中定义的算子的扩展以及拉格朗日局部几何分层水平的测量,以产生奇异 Radon 变换的尖锐界限。
项目成果
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